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Séminaire de théorie du potentiel, dirigé par M. Brelot, G. Choquet et J. Deny. 2e année 1958. (French) Zbl 0084.30904

Paris: Faculté des Sciences de Paris. Secrétariat mathématique. 71 p. (1959).
List of lectures:
Marcel Brelot, Axiomatique des fonctions harmoniques et surharmoniques dans un espace localement compact (p. 1–40);
Jacques Deny, Travaux de Hunt en théorie du potentiel (1 p.);
Gottfried Anger, Sur le rôle des potentiels continus dans les fondements de la théorie du potentiel (p. 1–30).
Ce fascicule contient, outre une brève note de J. Deny, deux exposés: l’un de M. Brelot sur l’axiomatique des fonctions harmoniques et surharmoniques dann un espace localement compacte, l’autre de G. Anger sur le rôle des potentiels continus dans les fondements de la théorie du Potentiel.
Le premier exposé reprend et complète l’axiomatique esquissée dans le sixième exposé du séminaire de l’annee précédente [Zbl 0082.31003]. Il y est question des le début des fonctions harmoniques et surharmoniques, la notion de fonction principale étant maintenant abandonnée. Ces fonctions sont définies dans un espace \(\Omega\) localement compact, non compact, connexe et localement connexe, compactifié par la méthode d’Alexandroff, sa topologie étant celle de son compactifié.
Fonctions harmoniques: Dans chaque ouvert partiel de \(\Omega\) est donné un espace vectoriel de fonctions réelles, finies et continues, dites harmoniques. Elles satisfont aux axiomes suivants:
I: Si \(u\) est harmonique dans \(\omega\) elle est continue dans tout ouvert contenu dans \(\omega\);
II: Il existe une base de domaines, dits réguliers, qui sont définis comme il suit: \(\omega\subset \overline{\omega}\subset\Omega\) étant un ouvert de \(\Omega\), de frontière \(\omega'\), il est dit régulier si toute fonction \(f\) continue et \(\geq 0\), définie sur \(\omega'\), admet un prolongement unique, harmonique et \(\geq 0\) dans \(\overline{\omega}\), \(H_f(x)\). A tout point \(x\) de \(\omega\) correspond une mesure de Radon \(d\rho_x^\omega\) de support contenu dans \(\omega'\) telle que \(H_f (x) = \int f(y)\, d\rho_x^\omega(y)\);
III: Tout ordonné filtrant croissant de fonctions harmoniques dans un ouvert tend vers \(+\infty\) partout ou vers une fonction harmonique. L’axiome III entraîne, comme on le voit aisément que si une fonction harmonique a un extremum nul en un point elle est nulle dans un voisinage de ce point. Si \(\omega\) est un ouvert régulier et \(f\) une fonction arbitrairement donnée sur \(\omega'\) les intégrales \(\underline\int f\, d\rho_x^\omega\) et \(\overline\int f\,d\rho_x^\omega\) sont définies comme il est bien connu. On définit les fonctions \(h\)-harmoniques comme l’etaient les fonctions \(h\)-principales auparavant.
Fonctions hyper- et surharmoniques: Les fonctions hyperharmoniques sont des fonctions définies dans un ouvert \(\omega\) de \(\Omega\) où elles sont semi-continues inférieurement, \(> -\infty\) et telles que, \(v\) étant l’une d’elles: \(v(x)\geq \int v\, d\rho_x^\omega\). Une fonction hyperharmonique est dite surharmonique dans \(\omega\) si elle est finie sur un ensemble partout dense dans \(\omega\). Un critère d’hyperharmonicité est qu’on ait \(v(x)\geq \int v\, d\rho_x^\delta\) pour tout \(x\in\omega\) et tout voisinage ouvert \(\delta\) de \(x\) contenu dans \(\omega\) et régulier.
Fonctions \(\overline{\mathfrak H}_f^\omega\) et \(\underline{\mathfrak H}_f^\omega\): si \(\omega\) est un ouvert de \(\Omega\) et \(f\) une fonction donnée sur \(\omega'\), \(\overline{\mathfrak H}_f^\omega\) est l’enveloppe inférieure des fonctions hyperharmoniques \(u\) dans \(\omega\) telles que \(\underline{\lim} u\geq f\) et \(\underline{\lim} u > -\infty\) en tout point frontière. \(\underline{\mathfrak H}_f^\omega = -\overline{\mathfrak H}_{-f}^\omega\). S’il y a egalité entre ces deux fonctions, \(f\) est dite résolutive et la valeur commune des deux fonctions est notée \(\mathfrak H_f^\omega\). Si \(\omega\) est un ouvert régulier \(\overline{\mathfrak H}_f^\omega= \overline\int f \,d\rho_x^\omega\).
Fonctions \(S_{\mathfrak B}\): \(\mathfrak B\) dénotant une base donnée de domaines réguliers, \(v\) définie dans \(\omega_0\) appartient à \(S_{\mathfrak B}\) si:
1) elle est localement bornée inférieurement, 2) si pour tout \(\omega\in\mathfrak B\) tel que \(\omega\subset \overline\omega\subset\omega_0\): \(v(x) \geq\overline\int v \,d\rho_x^\omega\) où \(x\in\omega\).
Regularisée: La regularisée \(\hat v\) de \(v\in S_{\mathfrak B}\) est définie comme il suit: \(\hat v(x) = {\underline{\lim}}_{y\to x} v(y)\). Il est prouvé que \(\hat v(x) = \sup\overline\int v \,d\rho_x^\omega\) pour tout les ouverts réguliers de \(\mathfrak B\) contenant \(x\).
Réduite: Soit \(\Phi > 0\) une fonction définie sur un ensemble \(E\) contenu dans un ouvert \(\omega_0\) dans lequel \(\Phi\) est majorée par une fonction surharmonique non négative. La réduite, denotée \((R_\Phi^E)_{\omega_0}\) ou simplement \(R_\Phi^E\) est l’enveloppe inférieure des fonctions surharmoniques non négatives dans \(\omega_0\) qui majorent \(\Phi\) sur \(E\). On prouve que la régularisée \(\hat R_\Phi^E\) est surharmonique.
Potentiels: Une fonction surharmonique \(v\) définie dans un ouvert \(\omega_0\) est appelée un potentiel s’il existe une minorante harmonique de \(v\) dans \(\omega_0\) et si la plus grande minorante harmonique de \(v\) est nulle dans \(\omega_0\). (Potentiel dans cet exposé signifie toujours une fonction non négative.) - Si \(\omega\) denote un ouvert quelconque de \(\Omega\), il se peut qu’il n’existe aucun potentiel dans \(\omega\). Dans ce cas toute fonction surharmonique \(\geq 0\) dans \(\omega\) \(y\) est harmonique et les fonctions harmoniques \(> 0\) dans \(\omega\) sont proportionnelles. S’il existe un potentiel dans \(\omega\), il existe un potentiel fini et continu dans le même ouvert. S’il existe un potentiel dann un ouvert \(\omega\) de \(\Omega\) toute fonction continue définie sur sa frontière est résolutive et si \(v\) est une fonction surharmonique \(> 0\) dans le même ouvert, si de plus \(\omega' \subset\overline{\omega}' \subset\omega\) est un ouvert, il existe un potentiel dans \(\Omega\) qui diffère de \(v\) d’une fonetion harmonique.
Domaines réguliers déterminants: un ouvert \(\omega\) de \(\Omega\) qui est régulier est dit complèment déterminant (resp. déterminant) si quelque soient \(v_1\) et \(v_2\), surharmoniques \(> 0\) (resp. localement bornées) dans \(\Omega\) et harmoniques dans \(\omega\), \(v_1 = v_2\) dans \(\mathbf C \omega\) entraîne \(v_1 = v_2\) partout dans \(\Omega\). On prouve que toute \(v\in S_{\mathfrak B}\), non négative dans \(\Omega\) (resp. localement bornée) et harmonique dans \(\omega\in\mathfrak B\), cet ouvert étant complètement déterminant (resp. déterminant), vaut \(\int v\, d\rho_x^\omega\) dans \(\omega\) car \(v = \hat v\) presque partout sur \(\omega\) (pour la mesure \(d\rho_x^\omega)\).
Ces nombreuses définitions doivent être introduites pour obtenir les résultats fondamentaux de la théorie des fonctions harmoniques et surharmoniques, en particulier les résultats relatifs à la représentation intégrale de ces fonetions. Une telle représentation ne peut être obtenue qu’en faisant appel à des axiomes supplémentaires.
Le premier est dit axiome de Harnack. Cet axiome peut être énoncé de plusieurs façons équivalentes. L’une d’elle est la suivante: soit \(\Phi\) un ensemble de fonctions finies et continues dans \(\Omega\), telles que \(u\in\Phi\) entraîne \(\lambda u\in\Phi\) pour tout \(\lambda\) réel et positif. Soit \(\Phi_{x_0}\) l’ensemble des \(u\in\Phi\) telles que \(u(x_0) = 1\). Alors \(\Delta_{x_0}\) est compact pour tout \(x_0\in\Omega\).
Un autre axiome est relatif à l’existence d’une base de domaines réguliers complètement déterminants. À ces deux axiomes doit être joint un théorème dû à M. Choquet (nulle référence n’est donnée). Cet important théorème est le suivant: soit un espace vectoriel topologique réel, localement convexe, ordonné par un cône convexe et réticulé, \(C\). Si \(C\) admet une base compacte \(B\) à tout \(z\in B\) correspond au plus une mesure de Radon, portée par l’ensemble des points extrémaux de \(B\), soit \(\mu > 0\), telle quo \(\mu(B)=1\) et que \(z\) soit son centre de gravité: \(z = \int_B \zeta \,d\mu (\zeta)\).
Ceci posé, \(H\) dénotant l’espace des différences de fonctions harmoniques non négatives et \(H^+\) l’ensemble des fonctions harmoniques \(\geq 0\), on munit \(H\) de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact et on l’ordonne par le cône \(H^+\). Soit \(H_{x_0}^+\) l’ensemble des fonetions de \(H^+\) qui sont strictement positives et égales à 1 en \(x_0\). Supposant \(\Omega\) à base dénombrable on prouve que \(H_{x_0}^+\) est compact et métrisable. Supposant de plus que l’ensemble des fonctions harmoniques strictement positives satisfassent à l’axiome de Harnack on démontre que tout \(u\in H^+\) a l’unique représentation \(u(x) = \int w(x) \,d\mu(w)\) où \(\mu\geq 0\) est une mesure de Radon portée par l’ensemble des points extrémaux de \(H_{x_0}^+\) et \(w\) décrit \(H_{x_0}^+\).
Sous les conditions précédentes on prouve en outre qu’il existe une base de domaines sur lesquels l’ensemble des fonctions harmoniques positives est non vide et satisfait à l’axiome de Harnack. La représentation intégrale des fonctions surharmoniques est plus délicate. L’ordre naturel ne se révèle pas pratique pour ordonner ces fonetions. M. Brelot introduit un ordre noté \((\mathfrak G)\): \(v_1- v_2 > 0\) si \(v_1- v_2\) est une fonction surharmonique non négative. Cet ordre est défini dans l’espace vectoriel \(S\) des différences de fonctions surharmoniques qui sont \(\geq 0\) dans \(\Omega\) par un cône \(S^+\). Ainsi ordonné \(S\) est un espace de Riesz complètement réticulé. On définit une topologie \(\mathcal T\) sur \(S\) par des semi-normes \(p(u) = \left|\int u \,d\rho_x^\omega\right|\) où \(\omega\) décrit un ensemble de domaines réguliers et \(x\) décrit un ensemble partout dense dans \(\Omega\). Arrivé à ce stade, supposant encore \(\Omega_0\) à base dénombrable, on note \(S^+_{x_0,\omega_0}\) l’ensemble convexe des fonctions surharmoniques non négatives \(v\) telles que \(\int v \,d\rho_{x_0}^{\omega_0} = 1\) pour les \(\omega_0\) appartenant à la base de domaines réguliers complètement déterminants postulés par le dernier axiome mentionné ci-dessus. La topologie induite par \(\mathcal T\) sur cet ensemble le rend métrisable et compact. On prouve que tout \(v\in S^+\) détermine une mesure de Radon, dite associée, \(\mu\geq 0\), portée par l’ensemble des points extrémaux de \(S^+_{x_0,\omega_0}\) et telle que \(v(x) = \int w(x) \,d\mu(w)\), \(w\) décrivant \(S^+_{x_0,\omega_0}\). D’ailleurs pour toute mesure \(\mu\geq 0\) sur \(S^+_{x_0,\omega_0}\), \(\int w(x)\, d\mu(w) \in S^+\). La démonstration se fait par une aplication directe du théorème de Choquet.
La représentation intégrale des potentiels se déduit aisément de la précédente. On prouve enfin quo sous les conditions énoncées ci-dessus, toute \(v\in S^+\) a la représentation \[ v(x) = \int w(x) \,d\mu_1 + \int w(x) \,d\mu_2,\qquad w\in S^+, \] où \(\mu_1\) et \(\mu_2\) sont des mesures \(\geq 0\), uniques sur \(S^+_{x_0,\omega_0}\), telles que \(\mu_1\) est portée par l’ensemble des points extrémaux de \(H^+_{x_0}\) et \(\mu_2\) par l’ensemble des points extrémaux de l’ensemble des potentiel \(u\geq 0\) tels que \(\int u(x) \,d\rho_{x_0}^{\omega_0} = 1\).
Une dernière section de l’exposé traite d’un théorème de convergence. Pour l’etablir il faut remplacer le dernier axiome mentionné ei-dessus par le suivant: si \(v\) est un potentiel borné et harmonique dans un domaine \(\omega\subset\overline\omega\subset\Omega\), tout autre potentiel le majorant sur \(\mathbf C\omega\) le majore aussi sur \(\omega\). Il faut aussi introduire des ensembles dits polaires: un ensemble \(E\) contenu dans un ouvert \(\omega\) est polaire s’il existe dans \(\omega\) une fonction surharmonique \(\geq 0\) dite associée valant \(+\infty\) en tout point de \(E\). Pour que \(E\) soit polaire dans \(\omega\) il faut et il suffit que pour toute fonction surharmonique \(w > 0\) dans \(\omega\) il existe un point \(x_0\) où \(\hat R^E_w\) soit nul, ou encore que \(\hat R^E_w= 0\). Soit alors une suite décroissante de fonctions surharmoniques \(\geq 0\), \(\{v_n\}\), de limite \(v\); \(v\) appartient à \(S_{\mathfrak B}\) et ne diffère de \(\hat v\) que sur un ensemble polaire. De plus toute suite \(\{v_n\}\) de fonctions hyperharmoniques est telle que \(\inf v_n\) et \(\lim v_n\) sont des fonctions de \(S_{\mathfrak B}\) égales à leur réduite sauf sur un ensemble polaire ou partout \(= +\infty\).
L’exposé, très riche en résultats, contient des propositions qui sont sans doute les théorèmes clefs d’une théorie systématique des fonctions harmoniques et surharmoniques définies sur les espaces \(\Omega\). Il est certain que cette théorie conduira sans tarder à des applications importantes qui contribueront à lui assurer une place d’honneur dans l’édifice des Mathématiques modernes.
Le second exposé n’est qu’une analyse extrêmement courte du chapitre 15 d’un travail récent de G. A. Hunt [Ill. J. Math. 1, 44–93 (1957); 1, 316–369 (1957); 2, 151–213 (1958; Zbl 0100.13804)]. Ce travail est relatif à l’existence d’un sous-groupe d’endomorphismes positifs de norme \(\leq 1\), dit sous-groupe markovien, de l’espace des fonctions continues à valeurs réelles sur un espace localement compact et séparable, ces fonctions tendant vers zero à l’infini.
Le troisième exposé, reprenant des idées et des démonstrations dues à H. Cartan [Ann. Univ. Grenoble, Sect. Sci. Math. Phys., n. Ser. 22, 221–280 (1946; Zbl 0061.22701)], développe une méthode en partie nouvelle pour l’etude des potentiels. Elle est basée sur une étude detaillée des potentiels continus. Elle permet de transformer des problèmes de la théorie du potentiel en des problèmes concernant des espaces vectoriels topologiques. L’exposé considère d’abord un certain nombre de propositions fondamentales de la théorie des potentiels à noyau newtoniens dans \(\mathbb R^n\). Quelques unes des propriétés de tels potentiels suggèrent à l’auteur un ensemble d’axiomes sur quoi fonder une théorie des potentiels dann un espace localement compact \(E\) relativement à un noyau positif \(\Phi(x, y)\), \(x, y\in E\). \(\Phi\) prend ses valeurs dans \(\overline{\mathbb R}^+\) \((0 \leq\Phi\leq + \infty)\) et doit être mesurable en \(x\) et en \(y\) pour toute mesure de Radon dans \(E\), mesurable aussi en \((x, y)\) pour tout produit de telles mesures. On pose \[ T\,\mu(x) = \overline\int \Phi(x,y)\, d\mu(y)\quad\text{et}\quad T'\,\mu(x) =\overline\int \Phi(y,x)\, d\mu(y). \]
L’exposé comprend trois parties: la première a trait à un certain nombre d’axiomes, de définitions et de généralités; la seconde est consacrée à des théorèmes de convergence et la troisième à la théorie dite du balayage faible, notée BF ci-après. Un certain nombre d’espaces vectoriels sont introduits, notés \(F, D, G\) et \(H\). Les lettres grècques dénotant des mesures de Radon et les lettres latines des fonctions sur \(S\), \(E_\lambda\) dénotant le support de \(\lambda\), on définit: \[ \begin{aligned} F^+ &= \{\lambda\mid \lambda\geq 0,\;S_\lambda\text{ compact},\;T'\,\lambda(x)\text{ continu}\}, \\ D^+ &= \{ f\mid f = T'\,\lambda,\;\lambda\in F\},\\ G^+ &= \{\mu\mid \mu\geq 0,\;\overline\int T\,\lambda\,d\mu <+\infty \text{ pour tout}\;\lambda\in F^+\}; \end{aligned} \] \(F, D, G\) sont les espaces vectoriels dont les éléments sont les différences d’éléments de \(F^+\), \(D^+\), \(G^+\) respectivement. \(H\) est l’espace des mesures de Radon \(\mu\in G\) de normes finies. On pose \(\| \mu\| = \sup |\mu(f)|\) pour \(\| f\| \leq 1\), \(f\) étant continue et à support compact sur \(E\), \(\|f\| = \sup | f(x) |\).
L’A. introduit les cinq axiomes suivants:
A\(_1\) – Il existe une \(\lambda\geq 0\) de support compact telle que \(T\,\lambda(x)\) soit continue dans \(E\).
A\(_2\) – Soit \(B\subset E\) un ensemble mesurable pout toute mesure (dénoté UM; universellement mesurable). S’il existe \(\lambda\in F^+\) telle que \(\lambda(B)\neq 0\), il existe une \(\lambda_0\in F^+\) telle que \(S_{\lambda_0}\subset B\) et que \(\lambda_0 (B)\neq 0\).
A\(_3\) – Pour la forme linéaire \((T'\,\lambda,\mu) = \int T' \,\lambda\,d\mu\) sur \(D \times G\) les espaces \(D\) et \(G\) sont en dualité. La topologie faible sur \(D\) est la topologie dénotée \(\sigma(D,G)\) par N. Bourbaki.
A\(_4\) – Pour tout \(T' \,\lambda\in D\) on a \(T' \,\lambda(x)\to 0\) pour \(x\to\infty\). Cet axiome fait de D un sous-espace de l’espace \(C = \{ f \mid f\) continue, \(f \to 0\) quand \(x\to\infty\}\) de norme \(\| f\| =\sup | f(x) |\). Deux cas sont possibles: \(D = C\) et \(D\neq C\). Dans le premier cas on a des théorèmes d’unicité qui ne sont pas valides dans le second.
A\(_5\) – \(\lambda_K\) dénotant la restriction de \(\lambda\) au compact \(K\) on pose \[ F_K = \{\lambda\mid\lambda\in F,\;S_\lambda\subset K\},\quad G_K = \{\mu\mid\mu\in G,\;S_\mu\subset K\},\quad D_K = \{f\mid f = T_\lambda,\;\lambda\in F_K\}. \]
L’axiome A\(_5\) s’énonce alors: pour tout \(a > 0\) \((a\in\mathbb R)\) il existe \(T'\,\lambda\in D_K\) tel que \(T'\,\lambda(x)\geq a\) pour tout \(x\in K\). Les définitions proposées par l’A. sont les suivantes:
1) Pour tout compact \(K\subset E\) la \(\Phi\)-capacité de \(K\) est la borne supérieure des \(\lambda(K)\) pour toutes les \(\lambda\in F^+\) telles que \(S_\lambda\subset K\) et que \(T'\,\lambda(x)\leq 1\) sur \(K\). La \(\Phi\)-capacité intérieure d’un ensemble \(B\subset E\) est la borne supérieure des capacités des compacts contenus dans \(B\). Une propriété est dite avoir lieu à peu près partout (app.) lorsqu’elle a lieu partout sauf sur un ensemble de mesure nulle pour toute \(\lambda\in F^+\).
2) On dit que le noyau \(\Phi\) satisfait le principe de balayage faible, dénoté BF, si pour toute mesure \(\mu\in G\) et pour tout compact \(K\subset E\) il existe au moins une mesure \(\nu\) telle que \(S_\nu\subset K\) et que \(T\,\mu(x) = T\,\nu(x)\) app. sur \(K\).
Parmi les propositions générales faisant l’objet de la première partie de l’exposé, mentionnons les suivantes: Pour qu’un ensemble \(B\subset E\) de UM nulle soit de capacité nulle, il faut et suffit qu’il soit de mesure nulle pour toute \(\lambda\in F^+\). Toute réunion finie ou dénombrable d’ensembles de UM nulle et de capacité nulle a une capacité nulle. Si \(\mu\in G^+\), \(T\,\mu<\infty\) app. Toute forme linéaire sur \(D\) continue pour \(\sigma(D, G)\) peut s’écrire d’une seule manière \(\int T' \,\lambda\, d\mu\) où \(\mu\in G\). Toute forme linéaire \(L(f)\) sur \(C\) peut s’écrire à l’aide d’une mesure \(\mu\in H\): \(L(f) = \int f \,d\mu\). La réciproque est vraie.
Les théorèmes concernant la convergence de potentiels sont les suivants:
1) Soit \(\{T\,\mu_n\}\), \(\mu_n\in G\), une suite de potentiels convergeant app. sur \(E\) vers une fonction \(g\). Si \(\int T\,\mu_n \,d\lambda \to \int g\, d\lambda\) pour toute \(\lambda \in F\) et si les applications \(T' \,\lambda\to \int T'\,\lambda\, d\mu_n\) sont équicontinues pour \(\sigma(D, G)\), il existe \(\mu\in G\) telle que \(\int T'\,\lambda\, d\mu_n \to \int T' \,\lambda\,d\mu\) pour tout \(T'\,\lambda\in D\) et \(T\,\mu_n p\to T \,\mu\) app.
2) Soit \(\{T\,\mu_n\}\), \(\mu_n\in H\), une suite de potentiels convergeant app. sur \(E\) vers une fonction \(g\). Si \(\int T\,\mu_n\, d\lambda\to \int g\,d\lambda\) pour toute \(\lambda \in F\) et si les applications \(f\int d\mu_n\), \(f\in\overline D\), sont équicontinues relativement à la topologie forte de \(\overline D\subset C\) il existe au moins une \(\mu\in H\) telle que \(\int f \,d\mu_n\to \int f\, d\mu\) pour toute \(f\in \overline D\) et \(T\,\mu_n\to T\,\mu\) app.
Pour étudier le principe de BF l’A. introduit un axiome A’\(_2\) plus général que l’axiome A\(_2\), à savoir: si \(K\subset E\) est un ensemble arbitraire et si \(\lambda\in F^+\) on a \(\lambda_K\in F^+\). Il est prouvé que si un noyau satisfait les axioms \(A_1\) et \(A_2\) la condition nécessaire et suffisante pour qu’un ensemble UM: \(B\subset K\subset E\), \(K\) compact, soit de capacité nulle est qu’il soit de mesure nulle pour toute \(\lambda\in F^+\) telle que \(S_\lambda\subset K\). Considérons maintenant un noyau satisfaisant les axiomes A\(_1\), A’\(_2\) et A\(_3\). Soit \(D^0_K\) l’espace orthogonal à \(D_K\subset D\). On définit aisément la topologie \(\sigma(D_K, G/D^0_K)\). Il a été prouvé par N. Bourbaki qu’elle est identique à la topologie induite sur \(D_K\) par \(\sigma(D, G)\). Soit \(\mathcal T_K\) cette topologie. Soit d’autre part \(\mathcal T'_K\) la topologie définie par des semi-normes elles-mêmes définies par une forme linéaire \((T'\,\lambda, \nu^0)\to \int T'\,\lambda\, d\nu^0\), \(\nu^0> 0\), sur \(D_K\times G_K/D^0_K\). L’A. prouve qu’une condition nécessaire et suffisante pour que le principe de BF relatif à \(K\) soit valide est que \(\mathcal T_K\) et \(\mathcal T'_K\) soient identiques. Il prouve en outre les théorèmes suivants:
Soit \(\mu\in G\), \(S_\mu\) compact, \(K\) un compact de capacité positive. Une condition nécessaire et suffisante de validité du principe de BF est qu’il existe pour tout compact \(S\subset E\) un nombre \(M(S)\) tel que, pour tout \(T'\,\lambda\subset D_K\) et tout \(x\in S\) \[ | T'\,\lambda(x) | \leq M(S) \sup_{x\in K} | T'\,\lambda(x)|. \]
Une autre condition nécessaire et suffisante de validité du même principe est que \(T\,\lambda(x)\geq 0\) \((T'\,\lambda\in D_K)\) pour tout \(x\in K\) entraîne \(T'\,\lambda(x)\geq 0\) partout dans \(E\).
Une autre condition necessaire et suffisante est enoncee comme suit: Soit \(K\) un compact de \(E\) de capacité positive. Introduisons: \[ \begin{aligned} D_0(K_0) &= \{h \mid h(x) = T'\,\lambda(x),\;x\in K_0,\;T'\,\lambda\in D_K\},\\ B_{x_0} &= \{x\mid \Phi(x,x_0) = T\,\varepsilon_{x_0} (x)\neq 0,\;x\in K\} \end{aligned} \] où \(\varepsilon_{x_0}\) dénote la masse unité placée en \(x_0\), \(h_0(x) = 1\) pour \(x=x_0\) et \(= 0\) pour \(x\in K\). Le noyau \(\Phi\) doit posséder la propriété que pour tout \(x_0\in E - K\) \(B_{x_0}\) est de capacité positive. Dans ces conditions le principe de BF vaut pour une masse unité en \(x_0\in E - K\) pourvu que \(h_0\) ne soit pas un élément de \(\overline D_0(K_0)\) c’est à dire que \(\overline D(K_0)\neq C(K_0)\). Une condition suffisante de validité du principe de BF pour la masse unité est \(\overline D_0(K_0)\neq C(K_0)\) et \(\overline D(K) = G(K)\).
Enfin soit \(K\) un compact de \(E\) de capacité positive. Pour que \(\overline D(K)=C(K)\) il faut et suffit que les conditions suivantes relatives à deux mesures\(\geq 0\), \(\mu_1\) et \(\mu_2\):
1) \(S_{\mu_1}\subset K\), \(S_{\mu_2}\subset K\); 2) \(T\,\mu_1(x) = T\,\mu_2 (x)\) app. sur \(K\) entraînent \(\mu_1 =\mu_2\).
L’A. nous informe qu’il a été amené à cette systèmatisation par des problèmes de Mathématiques appliquées. Il est vivement souhaitable qu’il nous donne bientôt des applications des principes généraux développés de façon si intéressante dans son exposé.
Reviewer: C. Racine

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