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Local isometric embedding problem of Riemannian 3-manifold into \(R^ 6\). (English) Zbl 0622.53015

Ankündigung des folgenden Satzes: Jede dreidimensionale Riemannsche \(C^{\infty}\)-Mannigfaltigkeit (M,g) mit einem Punkt \(p_ 0\) von nicht verschwindendem Krümmungstensor läßt sich lokal (d.h. in einer geeigneten Umgebung \(U_ 0\) von \(p_ 0)\) \(C^{\infty}\)-isometrisch in den sechsdimensionalen euklidischen Raum \(R^ 6\) einbetten. Hiermit wird ein Resultat von Bryant-Griffiths-Yang [siehe R. Bryant, P. Griffiths und D. Yang, Duke Math. J. 50, 893-994 (1983; Zbl 0536.53022)] durch Abschwächung der Voraussetzungen verallgemeinert. Der (nicht ausgeführte) Beweis beruht auf funktionalanalytischen Methoden, dabei insbesondere auf einem Satz über implizite Funktionen vom Nash- Moserschen Typ.
Reviewer: K.Leichtweiß

MSC:

53B25 Local submanifolds
53A07 Higher-dimensional and -codimensional surfaces in Euclidean and related \(n\)-spaces

Citations:

Zbl 0536.53022
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References:

[1] R. Bryant, P. Griffiths and D. Yang*: Characteristics and existence of isometric embeddings. Duke Math. J., 50, 893-994 (1983). · Zbl 0536.53022
[2] J. Duistermaat and L. Hormander: Fourier integral operators II. Acta Math., 128, 183-269 (1972). · Zbl 0232.47055
[3] C. S. Lin: The local isometric embedding in I?3 of two dimensional Riemannian manifolds with Gaussian curvature changing sign cleanly. Ph.D. dissertation at the Courant Institute (1983). · Zbl 0612.53013
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