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On arithmetical properties of certain \(q\)-series. (English) Zbl 1192.11041

Bei festen \(s\in\mathbb{N}\) und \(q\in\mathbb{C}, |q|<1\) sei \(f_s(z)\) durch die Heinesche Reihe \(\sum_{n\geq0}z^n/(1-q^{sn+1})\) in \(|z|<1\) definiert. \(f_s\) genügt der Funktionalgleichung \((\ast): f_s(z)-qf_s(q^sz)=1/(1-z)\); dieser entnimmt man, dass \(f_s\) nach ganz \(\mathbb{C}\) meromorph fortsetzbar ist mit Polen genau an den Stellen \(q^{-sn}, n\in\mathbb{N}_0\). Mittels Padé-Approximation zweiter Art und Iteration von \((\ast)\) gelingt es Verf., effektive Unterschranken für Linearformen \(h_0+h_1f_s(q^j)+h_2f'_s(q^j)+h_3f_s(-q^j)\) bei \(j\in\mathbb{N}, j\leq s\leq2\) und geeignet arithmetisch charakterisiertem \(q\) zu gewinnen, allerdings unter den erheblichen Einschränkungen \(h_2h_3=0\) bei \(s=1\), bzw. \(h_2=0=h_1h_3\) bei \(s=2\).
Bei \(1/q\in\mathbb{Z}\) erhält Verf. Irrationalitätsmaße für einige \(q\)-Analoga klassischer Konstanten, etwa \(\log_q2,\zeta_q(1),\zeta_q(2),\pi_q\), die meist nicht ganz die auf anderem Weg erzielte Qualität erreichen, etwa \(\mu(\pi_q)\leq8,409\dots\) gegenüber \(\leq6,503\dots\) bei W. Zudilin und Ref. [Math. Scand. 101, 104–122 (2007; Zbl 1153.11034)]. Dafür ist das Maß für die lineare Unabhängigkeit von \(1,\zeta_q(1),\log_q2\) bzw. \(1,\zeta_q(1),\zeta_q(2)\) mit \(\mu\leq14,346\dots\) gegenüber dem bisher bekannten \(\leq14,835\dots\) etwas besser. Erwähnt sei, dass Verf. nicht nur über \(\mathbb{Q}\) arbeitet, sondern über beliebigen algebraischen Zahlkörpern \(K\). Dabei ist \(q\in K^*\) zu nehmen mit \(|q|_v<1\) für eine geeignete Bewertung \(v\) von \(K\) und obige Linearform ist dann bezüglich dieses \(| \cdot |_v\) abgeschätzt.

MSC:

11J82 Measures of irrationality and of transcendence
11J72 Irrationality; linear independence over a field

Citations:

Zbl 1153.11034
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