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Über einige Integralaufgaben der Tensoranalysis. (German. Russian summary) JFM 59.0721.02
Ein systematischer Ausbau der Theorie Pfaffscher Probleme mit Mitteln des Ricci-Kalküls war von É. Cartan und J. A. Schouten schon seit längerem angeregt und befürwortet worden. Insbesondere verdankt man E. Grynaeus [Bull. Soc. Math. Fr. 56, 74–97 (1928; JFM 54.0803.03); Anz. Akad. Budapest 46, 487–507 (1929; JFM 55.1072.02)] Vorstöße in der bezeichneten Richtung. Im wesentlichen handelt es sich dabei um die Ausgestaltung der Theorie linearer Tensorfelder, also (nicht konstanter) schief symmetrischer kovarianter Tensoren \(w_{i_1i_2\ldots i_p}\), auch Polyvektoren oder \(p\)-Vektoren genannt, sowie ihrer alternierten kovarianten Ableitungen:
\[ w_{[i_1i_2\cdots i_p|k]} = \frac {\partial }{\partial x}\, _{[k}w_{i_1i_2\cdots i_p]}. \]
Diese Ableitungen fallen mit den gewöhnlichen Ableitungen zusammen (wie eben angedeutet), sofern die Alternation alle (sonst) auftretenden Übertragungsparameter \(\Gamma^l_{ik}\) zerstört. Unter “Integralaufgaben der Tensoranalysis” versteht nunmehr Verf. das Integrationsproblem von Differentialsystemen der Art:
\[ w_{[i_1i_2\cdots i_p|k]} = w_{[i_1i_2\cdots i_p} v_{k]} \tag{*} \]
bzw.
\[ w_{[i|k]} = w_{[i}v_{k]} + u_{ik}, \tag{**} \]
wo \(w\) der unbekannte \(p\)-Vektor, \(v\) ein gegebener Vektor und \(u\) ein gegebener Bivektor ist. In den Fällen \(p=1\) und \(p=2\) werden für (*) Methoden angegeben, die allgemeine Lösung zu erhalten (§9 und 10); für ein beliebiges \(p\) werden die Bedingungen aufgestellt, die für die Existenz von nicht identisch verschwindenden Lösungen notwendig und hinreichend sind (§8). Die Integrationsmethode für (**) wird in §12 gegeben. Vorausgeschickt wird eine ausführliche Theorie der Polyvektoren, und zwar zunächst deren Algebra (§2 bis §5), sodann ihre Verwendung für Pfaffsche Probleme (§6).
(Vgl. auch die Noten des Verf. in [C. R. Acad. Sci., Paris 197, 220 (1933; Zbl 0007.32101); 197, 384-385 (1933; Zbl 0007.32102\).)

MSC:
53-XX Differential geometry
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