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Sur les unités d’un corps algébrique. (French) Zbl 0001.00802
Summary: In der Note ,,Nouvelle démonstration et généralisation d’un théorème de Minkowski” [C. R. Acad. Sci. Paris 191, 1282–1285 (1930; JFM 56.0145.02)] hat der Verf. folgenden Satz über die Einheiten in relativ Galoisschen Körpern aufgestellt, der die Untersuchungen Minkowskis in seiner Note ,,Zur Theorie der Einheiten in algebraischen Zahlkörpern” [H. Minkowski, Gött. Nachr. 1900, 90–93 (1900; JFM 31.0208.02)] fortführt: Sei \(k\) ein endlicher algebraischer Zahlkörper vom Grade \(N\), \(K\) sei bzgl. \(k\) Galoisscher Körper vom Relativgrade \(n\). Es besitze \(k\) unter seinen konjugierten \(r_1\) reelle Körper und \(r_2\) Paare konjugiert imaginärer. Von den \(r_1\) reellen Körpern mögen \(\rho_1\) zu solchen konjugierten Körpern von \(K\) erweitert werden können, die selbst reell sind, während die übrigen \(\rho_2\), in nichtreellen konjugierten zu \(K\) liegen sollen. Ist der zu \(k\) konjugierte Körper \(k_i\) reell, hingegen der zugehörige zu \(K\) konjugierte Körper \(K_i\) imaginär, so wird \(K_i\) vom Grade 2 in bezug auf den größten zwischen \(k_i\) und \(K_i\) gelegenen reellen Körper, dem in der Galoisschen Gruppe \(\mathfrak G\) von \(K\) nach \(k\) eine zyklische Untergruppe der Ordnung 2 mit der Erzeugenden \(\sigma_i\) entspricht. Schließlich besitzt \(K\) genau \[ E = (\rho_1+r_2)n+\rho_2\cdot\tfrac n2-1 \] unabhängige Fundamentaleinheiten. Rechnet man im folgenden dauernd modulo der Untergruppe der in \(K\) gelegenen Einheitswurzeln, so gilt: Man kann in \(K\) bestimmen \(\rho_1+\rho_2+r_2\) Systeme von Einheiten \(\varepsilon_1^{(\nu)}, \ldots, \varepsilon_1^{(\nu)}\) \((\nu=1,\ldots, \rho_1+\rho_2+r_2)\) mit folgender Beschaffenheit:
1. Bei festem \(\nu\) sind alle \(\varepsilon_j^{(\nu)}\) die verschiedenen konjugierten eines einzigen von ihnen.
2. Ist die Numerierung so gewählt, daß bei \(\rho_1< i \leq \rho_1 + \rho_2\) gilt \(\sigma_i\varepsilon_j^{(i)}= \varepsilon_{j+n'}^{(i)}\) mit \(n=2n'\), so ist \(\varepsilon_j^{(i)}=\varepsilon_{j+n'}^{(i)}\).
3. Bezeichnen \(H_1, \ldots, H_{E+1}\) die aus den \(\varepsilon_j^{(\nu)}\) durch die Einschränkung: \(i\leq n'\) für \(\rho_1< \nu \leq \rho_1 + \rho_2\) ausgesonderten Einheiten, so gibt es unter ihnen \(E\) unabhängige Einheiten; diese erzeugen in der Gruppe aller Einheiten eine Untergruppe von endlichem Index.
Der Beweis dieses Satzes wird in der Note in [C. R. Acad. Sci. Paris 191 (loc. cit.)] zurückgeführt auf den folgenden Satz der Darstellungstheorie, dessen Beweis den Inhalt der Titelnote bildet: Ordnet man mittels eines Systems von Fundamentaleinheiten aus \(K\) dem Element \(\alpha\) der Galoisschen Gruppe \(\mathfrak G\) durch \(\alpha H_i=\house {k} H_k^{h_{ik}}\) die ganzrationalzahlige Matrix \(H = (h_{ik})\) zu, so entsteht eine Darstellung \(\mathfrak H\) von \(\mathfrak G\). \(\mathfrak C\) sei die einzeilige Einheitsmatrix. \(\mathfrak A\) sei die folgende Darstellung von \(\mathfrak G\): dem Element \(\beta\) der aus den Elementen \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) bestehenden Galoisschen Gruppe werde die Matrix \((\alpha_{ik}) = A\) zugeordnet, wo \(\alpha_{ik} = 1\) oder \(= 0\), je nachdem ob \(\beta\alpha_i = \alpha_k\) oder \(\beta\alpha_i \neq \alpha_k\) ist. Für den Fall des geraden \(n=2n'\) sei \(\mathfrak B_i\) die Darstellung vom Grade \(n'\), die so entsteht: sind \(\mu_1, \ldots, \mu_{n'}\); \(\mu_1\sigma_i, \ldots, \mu_{n'}\sigma_i\) die Elemente von \(\mathfrak G\), und verwandelt sich das Paar \(\mu_j, \mu_j\sigma_i\) durch Anwendung von \(\beta\) in das Paar \(\mu_k,\mu_k\sigma_i\), so werde \(\eta_{jk}=0\) oder \(=1\) gesetzt, je nachdem ob \(\mu_k = \beta\mu_j\sigma_i\) oder \(\mu_k = \beta\mu_j\) ist. Ist dann \(\mathfrak X_{K,k} = (\rho_1+r_2)\mathfrak A + \mathfrak B_{\rho_1+1}+ \ldots + \mathfrak B_{\rho_1+\rho_2}\) so wird behauptet:
\[ \mathfrak H+\mathfrak C\text{ und }\mathfrak X_{K,k} \text{ sind äquivalent}. \]
(Ist dann mit \(B=(b_{ik})\) erfüllt \(B(H+C)B^{-1}= X_{K,k}\), so liegt bei \(H_{E+1}=1\) in den Einheiten \(H'_i =\house{k}_1^{E+1} H_k^{b_{ik}}\) ein System von der im Hauptsatz behaupteten Art vor.)
Der Beweis des Satzes der Darstellungstheorie verläuft in 4 Schritten:
a) Zerlegt man \(\mathfrak H+\mathfrak C\) und \(\mathfrak X_{K,k}\) in ihre irreduziblen Bestandteile, so enthalten sie gleich oft \(\mathfrak C\).
b) Ist \(\mathfrak g\) eine Untergruppe von \(\mathfrak G\) vom Index \(m\), \(\bar k\) der \(\mathfrak g\) entsprechende Unterkörper von \(K\), so liefern \(\mathfrak H\) und \(\mathfrak X_{K,k}\) auch Darstellungen von \(\mathfrak g\), und zwar gibt \(\mathfrak X_{K,k}\) genau \(\mathfrak X_{K,\bar k}\).
c) Wird die Äquivalenzbehauptung als bewiesen vorausgesetzt für zyklische Gruppen \(\mathfrak Z\), so ergibt sich, daß jedes Element von \(\mathfrak G\) bei \(\mathfrak H+\mathfrak C\) und \(\mathfrak X_{K,k}\) denselben Charakter hat, woraus die Äquivalenz für die allgemeinen Gruppen \(\mathfrak G\) folgt.
d) Bei einer zyklischen Gruppe der Ordnung \(m\) werde der Satz als bewiesen angenommen für alle Untergruppen. Zerlegt man beide Darstellungen in ihre irreduziblen Bestandteile \(\mathfrak H+\mathfrak C=\sum_0^{m-1}y_i\mathfrak C_i\) und \(\mathfrak X_{K,k} =\sum_0^{m-1} z_i\mathfrak C_i\), so wird die mit \(x_i = y_i -z_i\) für eine primitive \(m\)-te Einheitswurzel \(\zeta\) angesetzte Charakterfunktion \(f(\zeta^a)=x_0+x_1\zeta^a +\ldots+ x_{m-1}\zeta^{a(m-1)}\) gleich Null für alle \(a\), woraus sofort \(x_0 = x_1=\cdots= x_{m-1} = 0\) und damit der Beweis des Satzes folgt.

MSC:
11R27 Units and factorization
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