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Sur la distribution de l’électricité à la surface des conducteurs fermés des conducteurs ouverts. (French) JFM 18.1026.01

Es sei \(e_1\) und \(e_2\) die Dichtigkeit auf der Aussen- und Innenseite einer nicht geschlossenen Fläche im Punkt \(p,\) welche durch ein äusseres Potential \(W\) inducirt wird. Man denke sich \(S\) als die Grenze zweier unendlich nahen Flächen \(S_1\) und \(S_2\); \(C_1\) und \(C_2\) seien die auf \(S_1\) und \(S_2\) gemachten Projectionen einer um \(p\) in der tangirenden Ebene beschriebenen Kreisfläche von sehr kleinem, aber gegen die Entfernung von \(S_1\) und \(S_2\) sehr grossem Radius. Ist \(p'\) ein anderer Punkt von \(S\), \(pp'=r\), \(n\) die innere Normale in \(p\), \((rn)\) der Winkel der Richtungen \(pp'\) und \(n,\) so ist die nach \(n\) gerichtete Kraft von \(C_1\) und \(C_2\) auf eine Elektricitätseinheit in \(p\) \(2\pi e_1\) und \(-2\pi e_2\), die von dem Rest von \(S\) herrührende Kraft \[ -\int (e_1'+e_2')\;\frac{\cos(rn)}{r^2} \;dS', \] wo das Integral über die ganze Fläche \(S\) erstreckt werden kann; die Gleichgewichts-Bedingung für den Punkt \(p\) ist also \[ (1)\quad 2\pi(e_1-e_2)=\int(e_1'+e_2')\;\frac{\cos( rn )}{r^2} \;dS'+\frac{dW}{dn}\cdot \] Hat man also nach den gewöhnlichen Methoden \(e_1+e_2=e\) bestimmt so giebt die vorstehende Gleichung die Verteilung von \(e\) auf die beiden Seiten der Fläche. Für eine geschlossene Fläche wird \(e_2=0\), und die Gleichung geht über in \[ (2)\quad 2\pi e=\int e'\;\frac{\cos(rn)}{r^2}dS'+\frac{dW}{dn}, \] welche Gleichung sich bei manchen Problemen mit Vorteil statt der gewöhnlichen Bedingungsgleichungen verwenden lässt.
a) Zunächst benutzt der Verfasser die Gl. (2) zur Bestimmung der Gleichgewichts-Belegung eines kugelähnlichen Körpers; in Polarcoordinaten \(( \varrho, \vartheta, \psi )\) wird die Gleichung des Körpers \(\varrho=R( 1+\alpha \nu )\) gesetzt, wo \(R\) eine Constante, \(\alpha\) ein zwischen 0 und 1 liegender Parameter, \(\nu\) eine Function von \(\vartheta\) und \(\psi\), ist; indem \(e=^s{}\sum_{0}^{\infty}\;e_s \alpha^s\) gesetzt und dieser Wert in die Gl. (2) eingeführt wird, ergiebt sich durch Gleichsetzung der Coefficienten von \(\alpha^s\) eine Recursionsgleichung zur Bestimmung von \(e_s\).
b) Ist die Fläche \(S\) ein beliebiges Stück einer Kugelfläche vom Radius \(\varrho\) sind keine inducirenden Massen vorhanden, und ist \(V\) das Potential von \(S\) giebt die Gl. (1) \[ e_1-e_2=\frac{V}{4\pi \varrho}\cdot \] Der Verfasser zeigt weiter, dass allgemein die Gesamtladung eines offenen Conductors auf der Aussenseite grösser als auf die Innenseite ist.
c) Es sei \(S\) eine offene Fläche, \(S+S'=\varSigma\) eine geschlossene Fläche. Die Aufgabe, die elektrische Verteilung auf \(S\) unter Einwirkung äusserer Massen zu bestimmen, lässt sich zurückführen auf die Aufgabe, die Verteilung auf \(\varSigma\) zu bestimmen, wobei die Dichtigkeit \(\varepsilon\) sein möge, und auf die Aufgabe, die durch einen beliebigen Punkt von \(S'\) auf dem abgeleiteten Conductor \(S\) inducirte Dichtigkeit zu bestimmen. Denken wir uns nämlich auf \(\varSigma\) die Dichtigkeit \(\varepsilon\), und ausserdem auf \(S'\) die Dichtigkeit \(-\varepsilon\), und ist \(e\) die (nach der Annahme bestimmbare) durch letztere auf \(S\) inducirte Dichtigkeit, so ist die gesuchte Dichtigkeit auf \(S\) gleich \(e+\varepsilon\), da \(\varepsilon\) mit der Dichtigkeit \(+\varepsilon\) von \(S'\) und mit den äusseren Massen, \(e\) mit der Dichtigkeit \(-\varepsilon\) von \(S'\) im Gleichgewicht ist, und \(S'\) sich im neutralen Zustand befindet.
d) Schliesslich reducirt der Verfasser noch die Aufgabe, die Gleichgewichts-Verteilung auf einer von mehreren Randcurven begrenzten Fläche \(B\) bei Abwesenheit äusserer Massen zu bestimmen, auf einfachere Aufgaben. Es sei z. B. \(B\) von zwei Randcurven begrenzt (etwa eine Kugelzone), und werde durch zwei andere Flächen \(C\) und \(C'\) (“Kalotten”), deren jede durch je eine Randcurve von \(S\) begrenzt ist, zu einer geschlossenen Fläche \(\varSigma\) ergänzt. Es sei bekannt 1) die Gleichgewichts-Verteilung \(e\) auf \(\varSigma\) bei Abwesenheit äusserer Massen und beim Potential \(V\); 2) die Induction eines beliebigen Punktes von \(C\) auf den abgleiteten Conductor \(B+C'\); 3) die Induction eines beliebigen Punktes von \(C'\) auf den abgeleiteten Conductor \(B+C\). Wir denken uns zunächst über \(\varSigma\) die Dichtigkeit \(e\) ausgebreitet, ferner über \(C\) und \(C'\) die Dichtigkeit \(-e\). Die Dichtigkeit \(-e\) von \(C'\) möge auf \(B\) eine (nach der Annahme bestimmbare) Dichtigkeit \(\beta_1\), auf \(C\) eine Dichtigkeit \(\gamma_1\) induciren; ebenso inducire die Dichtigkeit \(-e\) von \(C\) auf \(B\) die Dichtigkeit \(\beta_1'\), auf \(C'\) Dichtigkeit \(\gamma_1'\); wir haben dann auf \(B\) die Dichtigkeit \(e+\beta_1+\beta_1'\) und das Potential \(V\), unter Einwirkung einer Dichtigkeit \(\gamma_1\) auf \(C\) und \(\gamma_1'\) auf \(C'\). Dazu fügen wir auf \(C'\) eine Dichtigkeit \(-\gamma_1'\), welche auf \(B\) eine Dichtigkeit \(\beta_2\), auf \(C\) eine Dichtigkeit \(\gamma_2\) induciren möge, und auf \(C\) eine Dichtigkeit \(-\gamma_1\), welche auf \(B\), resp. \(C'\) eine Dichtigkeit \(\beta_2'\), resp. \(\gamma_2'\) induciren möge; wir haben dann auf \(B\) die Dichtigkeit \(e+\beta_1+\beta_1'+\beta_2+\beta_2'\) und das Potential \(V\), unter Einwirkung einer Dichtigkeit \(\gamma_2\) auf \(C\) und \(\gamma_2'\) auf \(C'\). Fahren wir so fort, so erhalten wir schliesslich auf \(B\) eine Dichtigkeit \(e+{}^s\sum_{1}^{n}( \beta_s+\beta_s' )\) und das Potential \(V\), im Gleichgewicht mit einer Dichtigkeit \(\gamma_n\) auf \(C\) und \(\gamma_n'\) auf \(C'\). Bezeichnen nun \(B_s,B_s',C_s,C_s'\) die entsprechenden Gesamtladungen, so folgt aus dem bekannten Satze, dass die auf einem abgeleiteten Conductor inducirte Ladung immer kleiner als die inducirende ist, leicht, dass \({}^s\sum_{1}^{n}( B_s+B_s' )<C_0+C_0'\), also die Reihe \({}^s\sum_{1}^{\infty}( B_s+B_s' )\) convergent ist, mathin auch die Reihe \(\varSigma B_s\) und \(\varSigma B_s'\), folglich, da die inducirte Dichtigkeit überall dasselbe Zeichen hat, auch die Reihe \(\varSigma\beta_s\) und \(\varSigma\beta_s'\). Ferner ist \(\lim C_n=\lim C_n'=0\), da sonst die durch \(-C_n'\) auf \(B+C\) inducirte Ladung auf \(B\) den Wert \(B_{n+1}=0\), auf \(C\) einen von 0 verschiedenen Wert \(C_{n+1}\), haben würde, was bekanntlich nicht möglich ist; mithin auch \(\lim\gamma_n=\lim \gamma_n'=0\). Die gesuchte Dichtigkeit auf \(B\) ist also \[ e+{}^s\sum_{1}^{\infty}(\beta_s+\beta_s' ). \] Der Verfasser wendet diese Formel zur Berechnung der Gleichgewichts-Verteilung auf einer Kugelzone an.

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Full Text: DOI Numdam EuDML