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On the series expansions of implicit functions. (Sur le développement des fonctions implicites en une série.) (French) JFM 13.0180.01

Die Lagrange’sche Umkehrungsformel liefert die Entwickelung einer Function \(u=f(y)\) in eine Potenzreihe von \(x\), wenn \(y\) durch eine Relation \(y=t+x\varphi(y)\) mit \(x\) verknüpft ist. Der Verfasser stellt sich die Aufgabe, diese Formel zu verallgemeinern, indem er die zwischen \(x\) und \(y\) bestehende Gleichung in der Form \[ y=t+x\varphi_1(y)+x^2\varphi_2(y)+\cdots+x^n\varphi_n(y) \] annimmt. Durch ein Inductionsverfahren wird ein Ausdruck für \({d^iu\over dx^i}\) bei beliebigem \(i\) gewonnen, wodurch das Problem mit Hülfe der Maclaurin’schen Formel sofort gelöst wird. Das Resultat lautet: \[ \begin{aligned} u=f(t) & +{x\over 1}f'(t)\cdot \varphi_1(t) +{x^2\over 2!}\left[{d\over dt}\{f'(t)\cdot \varphi_1(t)^2\}+2f'(t)\cdot \varphi_2(t)\right]+\cdots\\ & + x^i\sum {1\over \alpha! \beta!\dots{} \lambda!} {d^b\over dt^b}\{f'(t)\cdot \varphi_1(t)^{\alpha}\cdot \varphi_2(t)^{\beta}\cdots \varphi_n(t)^{\lambda}\}+ \cdots,\end{aligned} \] worin die Summe über alle ganzzahligen positiven Werte \(\alpha, \beta,\dots{} \lambda\) zu erstrecken ist, welche der Gleichung \[ \alpha+2\beta+3\gamma+\cdots+n\lambda=i \] genügen, und wo \[ b=-1+\alpha+\beta+\cdots+\lambda \] ist.

MSC:

41A58 Series expansions (e.g., Taylor, Lidstone series, but not Fourier series)
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