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Ein Kriterium für die reellen algebraischen Zahlen. Auf eine direkte Verallgemeinerung des euklidischen Algorithmus gegründet. (German) JFM 48.0194.03

Die bisher aufgestellten Kriterien für algebraische Zahlen (von Minkowski und Furtwängler) sind Verallgemeinerungen des Satzes, daß die algebraischen Zahlen zweiten Grades einen periodischen Kettenbruch haben. Statt dessen sucht Pipping den viel einfacheren Satz zu verallgemeinern, daß die algebraischen Zahlen ersten Grades einen endlichen Kettenbruch haben. Er gelangt so zu dem folgenden sehr hübschen und einfachen Kriterium.
Aus dem System von \(n+1\) ungleichen positiven Zahlen \(v_0, v_1, \ldots, v_n \) bilde man \(n\) neue Systeme dadurch, daß man außer der größten Zahl alle Zahlen unverändert läßt, die größte aber um eine der \(n\) andern vermindert; letztere kann man auf \(n\) Arten wählen, also entstehen \(n\) neue Systeme mit wieder je \(n+1\) positiven Zahlen. Wenn jedes der \(n\) neuen Systeme wieder aus lauter ungleichen Zahlen besteht, kann man den gleichen Prozeß wiederholen und erhält dann \(n^2\) neue Systeme. Wenn bei Fortsetzung dieses Verfahrens einmal ein System mit (mindestens) zwei gleichen Zahlen entsteht, bricht das Verfahren ab, andernfalls läßt es sich unbegrenzt fortsetzen. Ist nun \(w\) eine positive Zahl und wendet man das beschriebene Verfahren auf die \(n+1\) Zahlen \( 1, w, w^2,\ldots, w^n \) an, so entsteht “der zu \(w\) gehörige allgemeine Algorithmus \(n\)-ter Ordnung”. Das Kriterium für die reellen algebraischen Zahlen lautet dann:
“Die positive Zahl \(w\) ist dann und nur dann eine algebraische Zahl \(n\)-ten Grades, wenn der zu \(w\) gehörige Algorithmus \(n\)-ter Ordnung abbricht, während der von der \((n-1)\)-ten Ordnung nicht abbricht.” (IV 2.)

MSC:

11J99 Diophantine approximation, transcendental number theory