×

On the eigenvalues of a disturbed harmonic oscillator. (Sur les valeurs propres d’un oscillateur harmonique perturbé.) (French) Zbl 0813.35141

On considère l’oscillateur harmonique \(H_ 0 = (1/2) (-\Delta + q(x))\), où \(q\) est une forme quadratique réelle définie positive et l’opérateur perturbé \(H=H_ 0+V\), où le potential \(V = V(x)\) et ses dérivés ne sont pas trop grands, le partie imaginaire de \(V\) étout bornée. On se propose de comparer certaines des propriétés spectrales, en particulier sur hautes énergies, de \(H\) à celles de \(H_ 0\). Dans ce but on prouve que les noyaux de Schwartz des opérateurs \(e^{itH}\) et \(e^{itH_ 0}\) ont même microsupport (défini d’une façon appropriée qui tient compte à la fois de la régularité et de l’ordre de grandeux à l’infini) et que les distributions d’une variable \(t\), \(T\Omega e^{itH}\) et \(T\Omega e^{itH_ 0}\) ont même ensemble singulier, les périodes des trajectoires périodiques de l’hamiltonien de \(H_ 0\).
On utilise deux méthodes. L’une fait intervenir un calcul pseudo- différentiel, “non-classique” qui exploite le fait que desinégalités \(L^ 2\) qu’impliquent l’équation d’évolution pour les crochets succesifs de \(e^{-itH_ 0} e^{itH}\) avec les opérateurs “classiques” produisent une forme de calcul symbolique suffisisante pour majorer l’ensemble des singularités. La deuxième est inspirée des méthodes semi classiques, en introduisant un petit paramètre (un rapport d’homothétie) qui joue un rôle analogue à celui de la constante de Planck et permet de se ramener à une théorème de propagation de singularités.

MSC:

35S05 Pseudodifferential operators as generalizations of partial differential operators
35P15 Estimates of eigenvalues in context of PDEs
81Q10 Selfadjoint operator theory in quantum theory, including spectral analysis
81Q20 Semiclassical techniques, including WKB and Maslov methods applied to problems in quantum theory
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI

References:

[1] Albeverio, S.; Blanchard, Ph.; Hoegh-Krohn, R., Feynman path integral and the trace formula for the Schrödinger operator, Comm. Math. Phys., 83, 49-76 (1982) · Zbl 0493.35039 · doi:10.1007/BF01947071
[2] S. Albeverio, A. Boutet de Monvel-Berthier and G. Lebeau,Green’s function and the trace formula for the Schrödinger operator, en préparation.
[3] Balian, R.; Bloch, C., Solutions of the Schrödinger equation in terms of classical paths, Annals of Physics, 85, 514-545 (1974) · Zbl 0281.35029 · doi:10.1016/0003-4916(74)90421-7
[4] Beals, R.; Fefferman, C., Spatially inhomogeneous pseudo-differential operators I, Comm. Pure Appl. Math., 27, 1-24 (1974) · Zbl 0279.35071 · doi:10.1002/cpa.3160270102
[5] Beals, R., A general calculus of pseudodifferential operators, Duke Math. J., 42, 1-42 (1975) · Zbl 0343.35078 · doi:10.1215/S0012-7094-75-04201-5
[6] Beals, R., Characterization of pseudo-differential operators and applications, Duke Math. J., 44, 45-57 (1977) · Zbl 0353.35088 · doi:10.1215/S0012-7094-77-04402-7
[7] R. Beals,Propagation des singularités du typeD_t^2−□_b, Journées de St Jean de Monts, 1980.
[8] Berry, M. V.; Mount, K. E., Semi-classical approximations in wave mechanics, Rep. Prog. Phys., 35, 315-397 (1972) · doi:10.1088/0034-4885/35/1/306
[9] A. Boutet de Monvel-Berthier,On the eigenvalues of a perturbed harmonic oscillator, inRecent Developments in Quantum Mechanics, Poiana Brasov 1989, Kluwer Mathematical Studies No. 12, pp. 209-222. · Zbl 0728.35080
[10] Boutet de Monvel, L., Hypoelliptic operators with doubles characteristics and related pseudodifferential operators, Comm. Pure Appl. Math., 27, 585-639 (1974) · Zbl 0294.35020 · doi:10.1002/cpa.3160270105
[11] L. Boutet de Monvel,Opérateurs à coefficients polynomiaux, espace de Bargman, et opérateurs de Toeplitz, Séminaire Goulaouic-Meyer-Schwartz, 1980-81, exposé No. 2 bis. · Zbl 0479.35084
[12] L. Boutet de Monvel,Revue sur la théorie des D-modules et Modèles d’opérateurs pseudodifférentiels, inRecent Developments in Quantum Mechanics, Poiana Brasov 1989, Kluwer Mathematical Studies No. 12, pp. 1-31. · Zbl 0772.47028
[13] Colin de Verdière, Y., Quasi-modes sur les variétés Riemanniennes compactes, Invent. Math., 43, 15-52 (1977) · Zbl 0449.53040 · doi:10.1007/BF01390202
[14] Colin de Verdière, Y., Sur le spectre des opérateurs elliptiques à bicaractéristiques périodiques, C. R. Acad. Sci. Paris, 288, 1195-1197 (1978) · Zbl 0397.35054
[15] Chazarain, J., Formule de Poisson pour les variétés Riemanniennes, Invent. Math., 24, 65-82 (1974) · Zbl 0281.35028 · doi:10.1007/BF01418788
[16] Chazarain, J., Spectre d’un Hamiltonien quantique et mécanique classique, Comm. Partial Differ. Equ., 5, 6, 595-644 (1980) · Zbl 0437.70014 · doi:10.1080/0360530800882148
[17] J. J. Duistermaat and V. Guillemin,The spectrum of positive elliptic operators and periodic geodesics, Proc. Am. Math. Soc. Summer Inst. Diff. Geom., Stanford, 1973. · Zbl 0322.35071
[18] V. Guillemin and S. Sternberg,Geometric Asymptotics, Am. Math. Soc., 1977. · Zbl 0364.53011
[19] L. Hörmander,Pseudo-differential operators and hypoelliptic equations, Am. Math. Soc. Symp. on Singular Integrals, 1966, pp. 138-183. · Zbl 0167.09603
[20] Hörmander, L., The spectral function of an elliptic operator, Acta Math., 121, 193-218 (1968) · Zbl 0164.13201 · doi:10.1007/BF02391913
[21] Hörmander, L., Fourier integral operators I, Acta Math., 127, 79-183 (1971) · Zbl 0212.46601 · doi:10.1007/BF02392052
[22] Hörmander, L., The analysis of linear partial differential operators III-IV (1985), Berlin: Springer-Verlag, Berlin · Zbl 0601.35001
[23] Helffer, B.; Robert, D., Propriétés asymptotiques du spectre d’opérateurs pseudo-différentiels surR^n, Comm. Partial Differ. Equ., 7, 795-882 (1982) · Zbl 0501.35081 · doi:10.1080/03605308208820239
[24] J. Leray,Solutions asymptotiques et groupe métaplectique, Séminaire sur les équations aux dérivées partielles 1973-74, Collège de France, Paris.
[25] J. Leray,Analyse Lagrangienne et m’ecanique quantique, Séminaire sur les équations aux dérivées partielles 1976-77, Collège de France, Paris.
[26] Maslov, V. P., Théorie des perturbations (1972), Paris: Dunod, Paris · Zbl 0247.47010
[27] Robert, D., Autour de l’approximation semi-classique (1987), Basel: Birkhäuser, Basel · Zbl 0621.35001
[28] Robert, D., Asymptotique à grande énergie de la phase de diffusion pour un potentiel, Asymptotic Analysis, 3, 301-320 (1991) · Zbl 0737.35054
[29] J. Sjöstrand,Communication orale.
[30] Unterberger, A., Résolution d’équations aux dérivées partielles dans les espaces de distributions d’ordre de régularït’e variable, Ann. Inst. Fourier Grenoble, 21, 85-128 (1971) · Zbl 0205.43104
[31] A. Voros,Développements semi-classiques, Thèse, Orsay, 1972.
[32] Weinstein, A., Asymptotic of the eigenvalue clusters of the Laplacian plus a potential, Duke Math. J., 44, 883-892 (1972) · Zbl 0385.58013 · doi:10.1215/S0012-7094-77-04442-8
[33] Weinstein, A.; Zelditch, S., Singularities of solutions of Schrödinger equations onR^n, Bull. Am. Math. Soc., 6, 449-452 (1982) · Zbl 0482.35085
[34] Zelditch, S., Reconstruction of singularities for solutions of Schrödinger equations, PhD Berkeley and Comm. Math. Phys., 90, 1-26 (1983) · Zbl 0554.35031 · doi:10.1007/BF01209385
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.