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Caractérisation par l’uniformité des fibrés universels sur la grassmannienne. (French) Zbl 0543.14008

Soient \(K\) un corps algébriquement clos de caractéristique \(0\) et \(V\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension \(n\). On désigne par \(G(d,n)\) la variété grassmanienne des \(d\)-espaces de \(V\); par \(H_d\) le fibré universel de rang \(d\) sur \(G(d,n)\) (par \(H^*_d\) son dual) et par \(Q_{n-d}\) le fibré universel de rang \((n-d)\) sur \(G(d,n)\) (par \(Q^*_{n-d}\) son dual). On étudie des fibrés vectoriels algébriques uniformes sur \(G(d,n)\), c’est-à-dire des fibrés dont les restrictions aux droites projectives de \(G(d,n)\) sont deux à deux isomorphes. Les techniques utilisées sont celles qui furent développées au cours de l’étude des fibrés uniformes sur \(\mathbb{P}^n\) par (a) Van de Ven, (b) Sato, (c) Elencwajg, Hirschowitz, Schneider. La méthode est directement dérivée de celle utilisée dans le papier (c) et consiste à exprimer algébriquement l’obstruction topologique à l’existence de fibrés uniformes sur \(G(d,n)\).
Nous avons le résultat suivant (la dualité \(G(d,n)\) et \(G(n-d,n)\) nous permet de supposer \(d\le n-d)\):
Théorème 1: Sur la grassmannienne \(G(d,n)\), \(1\le d\le (n-d)\):
(1) Tout fibré uniforme de rang \(r<d\) est décomposable en une somme directe de fibrés en droites.
(2) Les seuls fibrés uniformes indécomposables de rang \(d\) sont les fibrés \(H_d\otimes \mathcal O_{G(d,n)}(\alpha)\) et \(H^*_d\otimes \mathcal O_{G(d,n)}(\beta)\).
Théorème 2: Sur la grassmanienne \(G(d,n)\), \(1\le d\le (n-d)\), les deux fibrés universels et leurs duaux sont caractérisés par leur rang, leurs classes de Chern et l’uniformité.
Cette méthode nécessite une description de l’anneau de cohomologie des variétés drapeaux permettant une traduction simple des contraintes algébriques. Pour cela, nous avons utilisé sous une forme explicite, un théorème de Grothendieck qui généralise le théorème de Leray-Hirsch et permet de décrire les anneaux de Chow des variétés drapeaux comme anneaux de polynômes partiellement symétriques modulo des relations explicites.
Reviewer: M. Guyot

MSC:

14F06 Sheaves in algebraic geometry
14C99 Cycles and subschemes
14M15 Grassmannians, Schubert varieties, flag manifolds
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Full Text: DOI EuDML

References:

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