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Completeness of Hamiltonian vector fields. (English) Zbl 0203.26103

Sei \(M\) eine glatte Hilbert-Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik \((\cdot,\cdot)\), so daß \(M\) bezüglich der induzierten Metrik vollständig ist. Sei außerdem \(V\) eine glatte reellwertige Funktion auf \(M\), die nach unten beschränkt ist. Die totale Energie \(H\colon T(M)\to R\) wird definiert durch \(H(p,v) = \frac12 (v,v) +V(p)\). Die natürliche symplektische 2-Form auf \(T^*(M)\) definiert dann zusammen mit dem Differential von \(H\) ein Vektorfeld \(Z\) auf \(T(M)\) (Hamilton-Vektorfeld). Unter den gegebenen Voraussetzungen beweist der Verf., daß sich die Integralkurven von \(Z\) auf ganz \(R\) definieren lassen, d.h., der Fluß von \(Z\) ist auf ganz \(T(M)\times R\) definiert.

MSC:

37C05 Dynamical systems involving smooth mappings and diffeomorphisms
37C10 Dynamics induced by flows and semiflows
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References:

[1] R. Abraham, Foundations of mechanics, Benjamin, New York, 1967. MR 36 #3527.
[2] Peter Dombrowski, On the geometry of the tangent bundle, J. Reine Angew. Math. 210 (1962), 73 – 88. · Zbl 0105.16002 · doi:10.1515/crll.1962.210.73
[3] N. L. Belaya and N. N. Petrov, Completeness of vector fields, Vestnik St. Petersburg Univ. Math. 26 (1993), no. 4, 3 – 4. · Zbl 0842.58016
[4] Serge Lang, Introduction to differentiable manifolds, Interscience Publishers (a division of John Wiley & Sons, Inc.), New York-London, 1962. · Zbl 0103.15101
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