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Nell’ \(S_4\), 4-complessi di rette, dei primi due ordini. (Italian) JFM 53.0650.01

Ziel der Arbeit ist die Klassifikation der linearen und quadratischen Geraden-4-Komplexe im \(R_4\), d. h. der algebraischen Systeme von \(\infty^4\) Geraden derart, daß die durch einen Punkt allgemeiner Lage laufenden Geraden des Systems ein Büschel oder einen Kegel 2. Ordnung bilden. Ein Punkt spezieller Lage, der \(\infty^{i+1}\) Geraden enthält, heißt singulär von \(i\)-ter Art \((i =1, 2)\). Ein Ort solcher Punkte wird singuläre Kurve oder Fläche \(i\)-ter Art genannt. Bilden die Geraden für einen singulären Punkt erster Art einen Kegel \(M^\varkappa_3\), so heißt der Punkt singulär von \(\varkappa\)-ter Ordnung. Klasse \(r\) eines Komplexes heißt die (endliche) Anzahl von Geraden, die in einer Ebene allgemeiner Lage liegen. Die Klassifikation, welche unter ausschließlicher Verwendung der synthetischen Methode erfolgt, unterscheidet die Komplexe nach den Kongruenzen, die ein Flach \((R_3)\) allgemeiner Lage aus ihm ausschneidet.
Kap. I behandelt die linearen Komplexe, Haupteinteilungsprinzip ist die Dimensionenzahl der Ebenenmannigfaltigkeit, welche durch die Büschel des Komplexes bestimmt wird.
In Kap. II werden zunächst (§1) die Komplexe nullter und erster Klasse untersucht und konstruiert.
§2 behandelt einen speziellen Komplex ohne singuläre Fläche:
Die Kongruenz \(\gamma\), die ein Flach aus einem Komplexe 2. Ordnung und \(r\)-ter Klasse ausscheidet, kann eine singuläre Kurve besitzen oder nicht. Im zweiten Falle hat der Komplex keine singuläre Fläche, im ersten kann er eine solche besitzen. Besonders bemerkenswert ist daher ein (in seiner Art einziger) Komplex, der jedes Flach allgemeiner Lage in einer Kongruenz mit singulärer Kurve schneidet, aber trotzdem keine singuläre Fläche besitzt2).
§3 bringt Konstruktionen von 4-Komplexen (auch höherer Ordnung) mittels projektiver Büschel von 5-Komplexen, Korrespondenzen zwischen Bündeln von Flachen und unter Benutzung von Trisekantenebenen von Kurven \(n\)-ter Ordnung.
Dann werden (§4–§10) die Komplexe ohne singuläre Flächen (mit Ausnahme des schon in §2 betrachteten) an Hand der verschiedenen möglichen Schnittkongruenzen \(\gamma\): (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), \((2,6)_{\text{I}}\), \((2,6)_{\text{II}}\), (2,7) nacheinander untersucht und konstruiert.
Kap. III behandelt die Komplexe von der Klasse \(r > 1\) mit singulärer Fläche. Dabei werden mit Bezug auf \(\gamma\) folgende Fälle unterschieden: (§1) Jede Gerade von \(\gamma\) enthält zwei singuläre Punkte. (§2) Die Geraden von \(\gamma\) schneiden eine Gerade und berühren eine Fläche, (§3) berühren einen Kegel 2. Ordnung in den Punkten einer auf ihm vorgegebenen Kurve oder (§4) berühren einen Kegel 2. Ordnung und schneiden eine nicht auf ihm liegende Kurve. In den drei letzten Paragraphen ist \(\gamma\) eine der von R. Sturm (Liniengeometrie II, Nr. 502-609) behandelten Kongruenzen, die von den Erzeugenden gewisser \(\infty^1\) Kegel 2. Ordnung gebildet werden, deren Scheitel auf einer Kurve 2. Ordnung (§5), einer rationalen ebenen Kurve 3. Ordnung (§6) oder einer Raumkurve 3. Ordnung (§7) laufen.
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References:

[1] Un esempio di 4-complesso trovasi inG. Castelnuovo,Ricerche di Geometria della retta nello spazio a quattro dimensioni [Atti del R. Istituo Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, serie VII, tomo II (1891), pp. 855–901], no 5.
[2] Per i sistemi algebrici di rette , il cui studio fu iniziato daG. Castelnuovo (l. c.),E. Ascione, F. Severi, cfr. i miei seguenti lavori:Sui complessi di rette del primo ordine dello spazio a quattro dimensioni [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXVIII (2o semestre 1909), pp. 353–399];
[3] G. Castelnuovo Sui complessi di rette d’ordine due e della prima specie dell’S 4 [Giornale di Matematiche di Battaglini, vol. L (1912), pp. 17–59];
[4] G. Castelnuovo Le superficie generali dell’S 4 dotate di due punti tripli apparenti [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXXIV (2o semestre 1912), pp. 179–186]; · JFM 43.0733.01
[5] G. Castelnuovo Sui complessi di rette dell’S 4,d’ordine 2e di 4a specie, e, in particolare, su quello di classe 4 [rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXXVIII (2o semestre 1914), pp. 43–66];
[6] B. Segre,I complessi quadratici di rette di S 4 [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, serie VI, vol. II (2o semestre 1925), pp. 476–479].
[7] R. Sturm,Ueber die sogenannten Strahlencongruenzen ohne Brennfläche [Mittheilungen der Hamburger GEsellschaft der Wissenschaften, 2 (1889), pp. 61–68], eDie Gebilde ersten und zweiten Grades der Liniengeometrie in synthetischer Behandlung [Leipzig (1893)]; · JFM 22.0678.02
[8] R. Schumacher,Zur Eintheilung der Strahlencongruenzen 2 Ordnung mit Brenn-oder singulären Linien [Mathematische Annalen, Band 38 (1891), pp. 298–306]. · JFM 23.0878.02 · doi:10.1007/BF01199256
[9] G. Castelnuovo, l. c. in 1)G. Castelnuovo,. · Zbl 0884.01026
[10] Cfr. l. c. in 8).
[11] R. Baldus,Zur Theorie der gegenseitig mehrdeutigen algebraischen Ebenentransformationen [Mathematische Annalen, Band 72 (1912), pp. 1–36]. · JFM 43.0752.01 · doi:10.1007/BF01456886
[12] C. Segre,Sulle varietà cubiche dello spazio a qualtro dimensioni e su certi sistemi di rette e certe superficie dello spazio ordinario [Memorie della R. Accademia delle Scienze di Torino, serie II, tomo XXXIX (1888), pp. 3–48]. · JFM 20.0662.01
[13] C. Segre, l. c. in 31)C. Segre,, ni 24 e 25. Si noti che essendo {\(\Gamma\)} privo, per ipotesi, di superficie singolare, l’ipersuperficie cubica {\(\Phi\)} non è dotata di retta doppia; cfr. l. c. in 31), ni 37 e 42.
[14] Cfr. pureG. Castelnuovo,Sulle congruenze del terzo ordine dello spazio a quattro dimensioni [Atti del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, serie VI, tomo VI (1887), pp. 525–579].
[15] R. De Paolis,Le trasformazioni piane doppie [Memorie della R. Accademia dei Lincei, serie III, vol. I (1877), pp. 511–544].
[16] G. Castelnuovo,Una applicazione della geometria enumerativa alle curve algebriche [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo III (1889), pp. 27–37] no 1, e · JFM 21.0674.02 · doi:10.1007/BF03011505
[17] L. Berzolari,Sulle secanti multiple di una curva algebrica dello spazio a tre o a quattro dimensioni [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo IX (1895), pp. 186–197] §III. · JFM 26.0631.02 · doi:10.1007/BF03012861
[18] 71)Cfr. il no16 della prima delle mie due Note citate in 28). · JFM 43.0752.01 · doi:10.1007/BF01456886
[19] Cfr. l. c. in 71), no 9. · JFM 43.0752.01 · doi:10.1007/BF01456886
[20] Cfr. l. c. in 35), no 452.
[21] M. De Franchis,Le superficie irrazionali di 5o ordine con infinite coniche [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, serie V, vol. XV, 2o semestre (1906), pp. 284–286], no 1. · JFM 37.0578.02
[22] D. Montesano,Su una congruenza di rette di 2o ordine e di 4a classe [Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, vol. XXVII (1892), pp. 1053–1069], no 5. · JFM 24.0789.01
[23] Segre, l. c. in 31)C. Segre, no 43.
[24] Cfr. per. es., l. c. in 123), no 45.
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