Sopra le equazioni di Eulero dei problemi variazionali di ordine \(n\). (Italian) JFM 63.0486.01

Cinquini, S.

Ann. Mat. pura appl., Bologna, (4) 16, 61-100 (1937).

In Fortsetzung seiner Untersuchungen über Variationsprobleme mit höheren Ableitungen (vgl. das vorstehende Referat sowie die dort zitierte Arbeit) behandelt Verf. zuerst die Eulersche Gleichung und definiert in Verallgemeinerung der Begriffsbildung von Tonelli den Begriff der Extremaloiden.
Es folgen dann Sätze über die Existenz des Minimums im kleinen bei quasiregulär positiv normalen Problemen. Von den Voraussetzungen mögen die folgenden hervorgehoben werden: \[ \lim\limits_{|y^{(n)}| \to \infty} |\, f(x, \, y,\, y', \ldots \!,y^{(n)}) \,| \to \infty, \]
\[ \left| \, f_{y^{(j)}} \left( x, \, y+\varphi_0, \, y'+ \varphi_1, \ldots \!, y^{(n-1)}+\varphi_{n-1}, \, y^{(n)} \right) \, \right| \leqq N_1|\, y^{(n)} \,| \]
\[ +N_2|\, f(x, \, y,\, y', \ldots \!, y^{(n)} \,| + N_3 \qquad (j=0,1,2,\ldots \!,n-1, \; \varphi_0^2+\varphi_1^2+\cdots + \varphi_2^{n-1} \leqq M) \]
Die Aussage über das Minimum im kleinen betrifft Kurven, die zwei Punkte \((x, \, y,\, y', \ldots \!, y^{(n-1)})\) verbinden, deren (euklidisch gemessener) Abstand genügend klein ist. Es ergibt sich unter den getroffenen Voraussetzungen die Existenz eines die genannten Punkte verbindenden Extremalenbogens.
Schließlich werden noch Aussagen über das Minimum im großen und die Existenz der zwei “Punkte” verbindenden Extremale gewonnen. Um die Eindeutigkeit dieser Extremale zu sichern, muß u. a. vorausgesetzt werden, daß \[ f_{y^{(n)}y^{(n)}}>0 \] ist und daß die quadratische Form: \[ f_{y^{(i)}y^{(k)}}\, h_i \, h_k \qquad (i,k=0,1,\ldots \!, n) \] positiv semidefinit ist.

Reviewer: Radon, J., Prof. (Breslau)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 15. Variationsrechnung.

References:

[1]	Cinquini, S., Sopra l’esistenza della soluzione nei problemi di Calcolo delle Variazioni di ordine n, Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa, V, 169-90 (1936) · JFM 62.1327.01
[2]	L. Tonelli,Fondamenti di Calcolo delle Variazioni. Due Volumi (N. Zanichelli, Bologna, 1921-1923). · JFM 48.0581.09
[3]	VediS. Cinquini, luogo cit. in (^1), § 1, n.^o 2, ed ancheS. Cinquini,Sopra una condizione sufficiente per la semicontinuità degli integrali dei problemi variazionali di ordine n (« Annali di Matematica pura e applicata », Serie IV, T. XV (1936-7), pp. 77-86). · JFM 62.0578.03
[4]	VediS. Cinquini, luogo cit. in (1), §§ 2 e 3, ed ancheS. Cinquini,Nuovi teoremi di esistenza dell’estremo in campi illimitati per i problemi di Calcolo delle Variazioni di ordine n (« Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa », Serie II, Vol. VI, (1937)). · Zbl 0017.26604
[5]	Cinquini, S., Sopra le condizioni necessarie per la semicontinuità degli integrali dei problemi variazionali di ordine, Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa, VI, 149-178 (1937) · JFM 63.0485.01
[6]	Tonelli, L., Sulle proprietà delle estremanti, Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa, III, 1, 213-237 (1934) · JFM 60.0452.01
[7]	Tonelli, L., Sulle equazioni di Eulero nel Calcolo delle Variazioni, Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa, IV, 10, 191-216 (1935) · JFM 61.1284.04
[8]	VediS. Cinquini, luogo cit. in (4), § 1, n.^o 1; ove trovansi anche le definizionidi intorno (ρ)^ndi una curva C[n],di classe completa di curve di ordine n, ecc..
[9]	VediS. Cinquini, luogo cit. in (5), § 5, n.^o 12.
[10]	Haar, A., Ueber eine Verallgemeinerung des Du Bois Reymond’schen Lemma’s, Acta Litterarum ac Scientiarum R. Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, I, 33-38 (1922) · JFM 48.0589.01
[11]	VediL. Tonelli, opera cit. in (2), Vol. II, n.^i 96,b) e 34,a).
[12]	Per questa definizione vediS. Cinquini, luogo cit. in (1), n.^o 1, s).
[13]	VediL. Tonelli, opera cit. in (2), Vol. II, n.^i 96,d) e 34,d).
[14]	VediL. Tonelli, idem n.^o 96,d).
[15]	VediL. Tonelli, luogo cit. in (6), n.^i 3 e 4.
[16]	VediL. Tonelli, luogo cit. in (6), n.^i 5 e 6.
[17]	Pern=1, vediL. Tonelli, opera cit. in (2), Vol. II, n.^o 98. È bene ricordare che la variazione \(\bar \delta y^{\left( j \right)}\) dellay^(j)(x), (j=1, 2,...,n), è la derivata di ordinej della variazione \(\bar \delta y\) dellay(x).
[18]	VediS. Cinquini, luogo cit. in (1), § 2, n.^o 5.
[19]	VediL. Tonelli, luogo cit. in (7), n.^i 3, 11, 12, 13.
[20]	VediL. Tonelli, opera cit. in (2), Vol. II, n.^o 128.