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Zur Klassifikation topologischer Ebenen. I, II. (German) Zbl 0135.39201

Math. Ann. 150, 226-241 (1963); Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 27, 145-166 (1964).
Eine ebene Ebene (e.E.) ist eine topologische projektive Ebene, in welcher der topologische Raum der Punkte (und damit auch derjenige der Geraden) homöomorph zur reellen projektiven Ebene ist. über die Struktur allgemeiner e.E. weiß man bisher sehr wenig. Setzt man aber ihre Kollineationsgruppe als genügend reichhaltig voraus, so lassen sich bemerkenswerte Strukturaussagen sowohl über die e.E. als auch über ihre Kollineationsgruppen gewinnen.
In einer früheren Arbeit zeigte Verf. [Math. Ann. 145, 401–428 (1962; Zbl 0103.13503)], daß die Kollineationsgruppe einer e.E. eine höchstens achtdimensionale Lie-Gruppe ist. Unter Benutzung tiefliegender Hilfsmittel aus der Topologie und der Theorie der Lie-Gruppen beweist Verf. u. a. folgende Sätze:
Jede e.E. mit einer mindestens fünfdimensionalen Gruppe ist notwendig desarguessch.
Als e.E. mit genau vierdimensionaler Kollineationsgruppe ergeben sich genau die Moulton-Ebenen \(P_k\) (mit Knickungsfaktor \(k\ne 1)\).
Ihre Kollineationsgruppen stimmen bis auf Isomorphie überein mit der eindeutig bestimmten Gruppe \((\tilde\Omega\times\mathbb R^+)/[(\zeta, r)]\); hierbei ist \(\tilde\Omega\) die einfach zusammenhängende überlagerungsgruppe von\(\mathrm{PSL}_2(\mathbb R)\), \(\zeta\) aus dem Zentrum von \(\tilde\Omega\), \(-1\ne r < 0\) und \([(\zeta, r)]\) die von \((\zeta, r)\) erzeugte zyklische Gruppe.
Die Moulton-Ebenen \(P_k\) und \(P_{k'}\) sind genau dann zueinander isomorph, wenn \(k' = k^{\pm1}\) ist.
In Teil II der Arbeit wurde begonnen, auch die e.E. mit dreidimensionalen Gruppen systematisch zu untersuchen. Sie werden klassifiziert nach den Fixelement-Konfigurationen der Kollineationsgruppe, die vollständig angegeben werden.
Zu Teil III s. Zbl 0167.49001.

MSC:

51-XX Geometry
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