On the summability \((c,1)\) of the conjugate series of a Fourier series. (English) JFM 59.0295.01

Prasad, B. N.

Annali di Mat. (4) 11, 207-214 (1933).

Hat \(f(x)\) die Fourierreihe \(\sum a_n \cos nx + b_n \sin nx\), so gehört die konjugierte Reihe \(\sum b_n \cos nx - a_n \sin nx\) zu der konjugierten Funktion \[ g(x) = \frac {1}{2 \pi } \int _0^\pi [f(x+t) - f(x-t)] \text{ ctg} \frac {t}{2} dt, \tag{1} \] bei der das Integral im verallgemeinerten Cauchyschen Sinne zu nehmen ist. Dieses braucht aber nicht zu konvergieren. Paley bewies (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 246-247), daß, wen \(g(x)\) an einer Stelle \(x\) existiert, die konjugierte Reihe dort \(C_{1 + \eta }\)-summierbar ist für jedes \(\eta > 0\). Die Frage blieb offen, ob sie auch \(C_1\)-summierbar sein muß. Verf., der schon viele geschickte Beispiele konstuiert hat, zeigt hier an einem Beispiel, daß die Antwort negativ ist: Die (nicht-absolute) Konvergenz von (1) an einer Stelle \(x\) ist nicht hinreichend für die \(C_1\)-Summierbarkeit der konjugierten Reihe an dieser Stelle.
Zur Aufstellung dieses Beispiels braucht er ein weiteres: Es kann \(f(x)\) an einer Stelle \(x\) stetig sein, das Integral (1) an ihr konvergieren, ohne daß die konjugierte Reihe an dieser Stelle konvergiert.

Reviewer: Knopp, K., Prof. (Tübingen)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.

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