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Über vierfach hyperboloide Tetraeder. (Italian) JFM 47.0567.02

Das eine räumliche Analogon zu den perspektiven Dreiecken der Ebene bilden die perspektiven Tetraeder. Den mehrfach perspektiven Dreiecken entsprechen mehrfach perspektive Tetraeder, insbesondere den dreifach perspektiven Dreiecken die vierfach perspektiven Tetraeder, die zu einem desmischen Systeme führen. Ein zweites Analogon bietet sich dadurch dar, daß drei inzidenten Geraden der Ebene im Raum vier Erzeugende derselben Regelschar zweiter Ordnung entsprechen. So sind z. B. die vier Höhen eines Tetraeders vier Gerade derselben Schar eines Hyperboloides. Den perspektiven Dreiecken entsprechen so andererseits auch die hyperboloiden Tetraeder. Unter den mehrfach hyperboloiden Tetraedern spielen wiederum die vierfach hyperboloiden eine besondere Rolle. Es gibt zwei Arten derselben, deren eine sich als Verallgemeinerung der vierfach Perspektiven Tetraeder darstellt. Sie haben Beziehungen zur Theorie der Kurven und Flächen vierter Ordnung und zu den hyperelliptischen Thetafunktionen von zwei Argumenten. Es werden zunächst die Bedingungen aufgestellt, wann zwei Tetraeder auf mehr als eine Art hyperboloid liegen können; im allgemeinen sind nur die Fälle 2, 3, 4, 6 möglich. Im Falle 4 werden die Koordinaten der Ecken als abhängig von sechs Parametern dargestellt, sowie die Gleichungen der vier Hyperboloide. Sodann wird untersucht, wann von drei Tetraedern jedes zu den beiden andern vierfach hyperboloid liegt. Daran schließen sich besondere Betrachtungen, wenn über die Parameter in bestimmter Weise verfügt wird, z. B. wenn drei der Parameter den Wert 1 haben: man gelangt dann zu Tetraedern, die überdies noch den Schwerpunkt gemein haben und sich wieder zu interessanten Quadrupeln zusammensetzen.

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References:

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[16] Vgl.O. Hermes a. a. O. 3).
[17] A. a. O. 14), s. 127.
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[22] A. a. O. 14), S. 133.
[23] Vgl.E. Hess, a. a. O. 5).
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[37] Ueber die Transformation der Tetraederkoordinaten vgl. etwaO. Staude,Analytische Geometrie [Leipzig, Teubner, 1905], S. 342.
[38] Vgl.E. Jahnke, a. a. O. 15), S. 184.
[39] H. Schroeter,Ueber eine Raumkurve vierter Ordnung und erster Spezies, a.a. O. 12)[.
[40] A. a. O. 42), S. 143.
[41] In anderer Fassung findet sich dieser Satz bereits-beiO. Hermes, a. a. O. 3).
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[45] Vgl.H. Weber,Ueber die KummerscheFläche vierter Ordnung mit sechzehn Knotenpunkten und ihre Beziehung zu den Thetafunktionen mit zwei Veränderlichen [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. LXXXIV (1878), S. 332–354].
[46] a. O. 45). · JFM 25.0811.02
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