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Quelques problèmes non résolus de la théorie des fonctions caractéristiques. (French) Zbl 0100.14201


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References:

[1] Depuis que ce travail a été rédigé,M. E. Lukacs a attiré mon attention sur un beau théorème deM. Krein, publié dès 1940 dans les Comptes rendus de l’ Académie des Sciences de l’U.R.S.S., N. s. 26, p. 17-22. Dans le mème volume (p. 860-865),D. Raikov a donné une nouvelle démonstration de ce théorème, dont voici l’énoncé: Une fonction ψ_0(z) étant donnée, hermitienne et continue, dans (−A, +A), pour qu’il existe une fonction ψ(z) de la classeC égale à ψ_0(z) dans cet intervalle, il faut et il suffit que, quelle que soit la fonctions τ(z) réelle, monotone et bornée dans (0, +A), on ait \(J\left( A \right) = \int\limits_0^A {\int\limits_0^A {\varphi_0 } \left( {z - z'} \right)d\tau \left( z \right)} d\tau \left( {z'} \right) \geqslant 0.\) De plus la conditionJ(A)>0 [sauf si τ(z) est constant], jointe à une autre condition moins simple, est nécessaire et suffisante pour que le prolongement de ψ_0(z) soit indétérminé. PourA infini, on retrouve le célèbre théorème deS. Bochner. Ce n’est pas réduire l’importance de ces théorèmes que d’observer qu’ils ne font que ramener le problème posé à un autre, et cela dans le cas oùE=(−A, +A). Ils ne le résolvent pas, et la question posée dans la texte reste entière. Rien ne prouve d’ailleurs qu’il puisse y avoir une condition explicite, analogue à celle rappelée plus haut pourA infini, qui résolve pratiquement le problème. Le théorème deKrein suggère une généralisation, obtenue en remplaçant (0,A) par n’importe quel ensemble formée ⊂ (0, ∞). Siz etz′ décrivent indépendammentē, z-z’ décrit un ensemble ferméĒ;J(A) est remplacée par une intégraleJ(A, e), et la condition pour que ψ(z), donné dansĒ, soit prolongeable dans (−∞, +∞), seraitJ(A, e)≥0. Cette condition est manifestement nécessaire; cela résulte du théorème deBochner appliqué aux fonctionsτ(z) qui ne varient que danse. Il nous semble probable qu’elle est aussi suffisante. Mais bien entendu on ne peut obtenir ainsi qu’un énoncé applicable siĒ est la somme directe d’un ensembleē et de son symétrique par rapport à l’origine. Un tel ensemble est nécessairement son propre symétrique par rapport à l’origine; mais cette symétrie est sans importance dans le problème considéré, puisque, si la fonction hermitienneψ(z) est connue dans un ensemble quelconqueE, elle l’est dansĒ, dans l’ensembleĒ′ symétrique deĒ et par suite dans la réunion deĒ etĒ.
[2] Lévy, P., Esquisse d’une théorie de la multiplication des variables alétoires, Ann. Ec. norm. sup., 76, 59-82 (1959) · Zbl 0087.13705
[3] Dugué, M. M. D.; Lukacs, E.; Kawata, T., On the Division of a Probability law, Proc. Imp. Acad. Tokyo, XVI, 249-254 (1940) · JFM 66.0514.02
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