×

Zyklische Erweiterungen arithmetischer Funktionenkörper. (German) Zbl 0107.03402

Es sei \(K/k\) ein arithmetischer Funktionenörper, d. h. ein algebraischer Funktionenkörper in einer Veränderlichen über einem algebraischen Zahlkörper \(k\) als Konstantenkörper. Als Grundaufgabe der Klassenkörpertheorie für \(K\) kann die Charakterisierung der Abelschen Erweiterungen \(L\) von \(K\) durch arithmetische Gruppen des Körpers \(K\) angesehen werden. In der vorliegenden Arbeit soil ein kleiner Beitrag zu dieser Fragestellung gegeben werden, wobei zur Vereinfachung der Darstellung an einigen Stellen die folgenden einschränkenden Voraussetzungen gemacht werden: a) \(K\) ist ein rationaler Funktionenkörper, und \(k\) ist der rationale Zahlkörper; b) \(L/K\) ist zyklisch, insbesondere vom Primzahlgrad. Speziell enthalten die Ergebnisse des Verf. also einen Beitrag zur Charakterisierung der zyklischen Erweiterungen eines rationalen Funktionenkörpers über dem rationalen Zahlkörper; dies verallgemeinert den Kroneckerschen Satz über die Charakterisierung der abelschen Erweiterungen des rationalen Zahlkörpers.
Es werden die folgenden Überlegungen und Hilfsmittel herangezogen:
1. Jeder abelschen Erweiterung \(L\) von \(K\) werden vermöge der endlichen Primstellen \(p\) von \(k\) ,,lokale” abelsche Erweiterungen \(\overline L\) von Kongruenzfunktionenkörpern \(K\) (von Primzahlcharakteristik) zugeordnet; dies gestattet es, Ergebnisse aus der algebraischen Zahlentheorie und aus der Klassenkörpertheorie der Kongruenzfunktionenkörper bei den Untersuchungen zu verwenden.
2. Al -Erzeugende der arithmetischen Gruppen, mit denen die abelschen Erweiterungen charakterisiert werden, wählt Verf. ein geeignetes System von diskreten Krullschen Bewertungen vom Range 2; die Restklassenkörper dieser Primdivisoren sind endliche Körper, so daß also nach dem üblichen Schema die Frobenius-Automorphismen erklärt werden können. Diese Bewertungen entsprechen den primen rationalen Zyklen in den Untersuchungen von S. Lang [Ann. Math. (2) 64, 285–325 (1956; Zbl 0089.26201); Bull. Soc. Math. Fr. 84, 385–407 (1956; Zbl 0089.26301)] und J.-P. Serre [Groupes algébriques et corps de classes. Paris: Hermann (1959; Zbl 0097.35604)].
3. Der Ansatz des Verf. lehnt sich stark an den aus der klassischen Theorie bekannten Gedanken der Kongruenzeinteilung nach einem ,,Führer”, der aus den verzweigten Primdivisoren zusammengesetzt ist, an. Demzufolge sind in seinen Ergebnissen Aussagen über Verzweigungen enthalten. Der ,,geometrische Führer” \(\mathfrak f(L/K)\) wird definiert als die Summe der in \(L\) verzweigten Primdivisoren \(\mathfrak p\) von \(K/k\). Wenn \(K = k(x)\), so betrachte man die von dem Pol \(\mathfrak p_\infty\) von \(x\) verschiedenen Primteiler \(\mathfrak p_i\), des Führers und bezeichne mit \(f_i(x)\) ein zugehöriges irreduzibles Polynom, welches ganzzahlig und vom Inhalt 1 normiert werden kann. Sei \(f(x)\) das Produkt dieser \(f_i(x)\). Der Zerfällungskörper \(N\) von \(f(x)\) über \(k\) heißt der Führernormalkörper von \(L/K\).
Ein Ergebnis des Verf. lautet, daß unter der Voraussetzung a) der Führernormalkörper einer zyklischen Erweiterung \(n\)-ten Grades stets die \(n\)-ten Einheitswurzeln enthüalt; dies ist eine sehr einschränkende Bedingung für die möglichen geometrischen Führer \(\mathfrak f(L/K)\).
Ein anderes Ergebnis ist das folgende: Sei \(q>2\) eine Primzahl und \(\mathfrak f\) der geometrische Zählerdivisor des \(q\)-ten Kreisteilungspolynoms in \(K = k(x)\); damn gibt es unter der Voraussetzung a) stets geometrische zyklische Erweiterungen \(q\)-ten Grades \(L\) von \(K\), die \(\mathfrak f\) als genauen geometrischen Führer besitzen. Dabei heißt \(L/K\) geometrisch, wenn \(k\) der Konstantenkörper von \(L\) ist, d. h. wenn \(L\) keine echte Konstantenerweiterung von \(K\) enthält.

MSC:

11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields
11R37 Class field theory
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Abhyankar, S.: Ramification Theoretic Methods in Algebraic Geometry. Ann. of Math. Studies43 (1959). · Zbl 0101.38201
[2] Chevalley, C.: Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable. Math. Surveys6 (1951). · Zbl 0045.32301
[3] Hasse, H.: Theorie der relativ-zyklischen algebraischen Funktionenkörper, insbesondere bei endlichem Konstantenkörper. J. reine angew. Math.172, 37-54 (1934). · JFM 60.0097.01
[4] Hasse, H.: Zahlentheorie. Berlin 1951.
[5] Hasse, H.: Vorlesungen über Zahlentheorie. Berlin 1950. · Zbl 0039.03201
[6] Hasse, H.: Klassenkörpertheorie. Marburg 1933. · JFM 59.0189.03
[7] Lamprecht, E.: Allgemeine Theorie der Gaußschen Summen in endlichen kommutativen Ringen. Math. Nachr.9, 149-196 (1953). · Zbl 0050.04401 · doi:10.1002/mana.19530090303
[8] ?: Bewertungssysteme und Zetafunktionen algebraischer Funktionenkörper III. Math. Ann.132, 373-403 (1957). · Zbl 0079.27001 · doi:10.1007/BF01350154
[9] ?: Zur Eindeutigkeit von Funktionalprimdivisoren. Arch. Math.8, 30-38 (1957). · Zbl 0078.02906 · doi:10.1007/BF01898435
[10] ?: Restabbildungen von Divisoren. I. Arch. Math.8, 255-264 (1957); · Zbl 0100.03303 · doi:10.1007/BF01898784
[11] ?: Restabbildungen von Divisoren. II. Arch. Math.10, 428-437 (1959); · doi:10.1007/BF01240823
[12] ?: Restabbildungen von Divisoren. III. Arch. Math.11, 407-418 (1960). · doi:10.1007/BF01236967
[13] Lamprecht, E.: Durch Produktdarstellungen erklärte Zetafunktionen. Euler-Gedenkband 246-255 (1959). · Zbl 0121.04602
[14] ?: Invariante Zetafunktionen arithmetischer Funktionenkörper. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg22, 71-83 (1958). · Zbl 0081.03603 · doi:10.1007/BF02941941
[15] Lang, S.: Unramified Class Field Theory over Function Fields in Several Variables. Ann. of Math.64, 285-325 (1956). · Zbl 0089.26201 · doi:10.2307/1969975
[16] ?: Sur les séries L d’une variété algébrique. Bull. Soc. Math. de France84, 385-407 (1956).
[17] Mann, H.: Introduction to Algebraic Number Theory. Ohio State Univ. Press 1955. · Zbl 0068.03103
[18] Morikawa, H.: Generalized Jacobian Varieties and Separable Abelian Extensions of Function Fields. Nagoya Math. J.12, 231-254 (1957). · Zbl 0081.26801
[19] Nagata, M.: A General Theory of Algebraic Geometry over Dedekind Domains I. Amer. J. Math.78, 78-116 (1956); · Zbl 0089.26403 · doi:10.2307/2372486
[20] Nagata, M.: A General Theory of Algebraic Geometry over Dedekind Domains II. Amer. J. Math.80, 382-420 (1958); · Zbl 0089.26501 · doi:10.2307/2372791
[21] Nagata, M.: A General Theory of Algebraic Geometry over Dedekind Domains III. Amer. J. Math.81, 401-435 (1959). · Zbl 0204.21303 · doi:10.2307/2372749
[22] Schmidt, F. K.: Die Theorie der Klassenkörper über einem Körper algebraischer Funktionen in einer Unbestimmten und mit endlichem Koeffizientenbereich. S. Ber. Erlangen62, 267-284 (1930).
[23] Serre, J. P.: Groupes algébriques et corps de classes. Paris 1959. · Zbl 0097.35604
[24] Witt, E.: Der Existenzsatz für abelsche Funktionenkörper. J. reine angew. Math.173, 43-51 (1935). · Zbl 0011.29101 · doi:10.1515/crll.1935.173.43
[25] Yamazaki, K.: On Fibre Spaces in the Algebraic Number Theory. J. Math. Soc. Japan7, 182-201 (1955). · Zbl 0074.03202 · doi:10.2969/jmsj/00720182
[26] Zariski, O., andP. Samuel: Commutative Algebra I, II. 1958, 1960. · Zbl 0081.26501
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.