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Sur le groupe fondamental d’un feuilletage. (On the fundamental group of a foliation). (French) Zbl 0576.57021
Soit \({\mathcal F}^{\chi}\) l’ensemble des sous-variétés transverses, connexes et simplement connexes, d’une variété feuilletée connexe (V,\({\mathcal F})\). Pour \(\Sigma_ 0, \Sigma \in {\mathcal F}^{\chi}\), l’ensemble \(\overline{Hol}_{\Sigma_ 0\Sigma}({\mathcal F})\) des \((\Sigma_ 0,\phi_ 0,\Sigma_ 1,...,\phi_{n-1},\Sigma_ n)\), où \(\Sigma_ i\in {\mathcal F}^{\chi}\), \(\Sigma_ n=\Sigma\), et où \(\phi_ i\) appartient à l’ensemble \(Hol_{\Sigma_ i\Sigma_{i+1}}({\mathcal F})\) des germes de difféomorphismes d’holonomie de \(\Sigma_ i\) vers \(\Sigma_{i+1}\), est non vide et muni d’une relation d’équivalence \(\rho\) engendrée par la relation suivante: \((\Sigma_ 0,\phi_ 0,...,\phi_{n-1},\Sigma_ n)\sim (T_ 0,\psi_ 0,...,\psi_{m-1},T_ m)\) si \(m=n+1\) et s’il existe \(i_ 0\in \{0,...,n-1\}\) et \(\phi '\in Hol_{\Sigma_{i_ 0}T_{i_ 0+1}}({\mathcal F})\), \(\phi ''\in Hol_{T_{i_ 0+1}\Sigma_{i_ 0+1}}({\mathcal F})\) composables, tels que \(\Sigma_ i=T_ i\) pour \(0\leq i\leq i_ 0\), \(\Sigma_ i=T_{i+1}\) pour \(i_ 0<i\leq n\), \(\phi_ i=\psi_ i\) pour \(0\leq i<i_ 0\), \(\phi_ i=\psi_{i+1}\) pour \(i_ 0<i<n\), \(\phi_{i_ 0}=\phi '\phi ''\) et tels que \(\phi\) ’, \(\psi\) \({}_{i_ 0}\) (resp. \(\phi\) ”, \(\psi\) \({}_{i_ 0+1})\) appartiennent à la même composante connexe de \(Hol_{\Sigma_{i_ 0}T_{i_ 0+1}}({\mathcal F})\) (resp. \(Hol_{T_{i_ 0+1}\Sigma_{i_ 0+1}}({\mathcal F}))\), muni de sa topologie étalée usuelle au dessus de \(\Sigma_{i_ 0}\) (resp. \(T_{i_ 0+1})\). Pour \(x_ 0, x\in V\) fixés, on a sur \(\cup_{\Sigma_ 0, \Sigma \in {\mathcal F}^{\chi} \Sigma_ 0\ni x_ 0, \Sigma \ni x}Hol_{\Sigma_ 0\Sigma}({\mathcal F})/\rho\) une relation d’équivalence naturelle dont le quotient sera désigné par \(\pi_{x_ 0x}({\mathcal F}).\)
On a sur \(\pi\) (\({\mathcal F})=\cup_{x_ 0,x\in V}\pi_{x_ 0x}({\mathcal F})\) une structure naturelle de groupoïde de Lie galoisien transitif sur V, dont le groupe structural n’est autre que celui du schéma de variété associé à (V,\({\mathcal F})\) par W. van Est [Astérisque 116, 235-292 (1984; Zbl 0543.58003)]. On a un foncteur naturel surjectif \(\pi\) (V)\(\to \pi ({\mathcal F})\) à travers lequel \(p_*: \pi (V)\to \pi (V/{\mathcal F})\), induite de l’application canonique p de V sur l’espace des feuilles V/\({\mathcal F}\), se projette en un foncteur \(\pi\) (\({\mathcal F})\to \pi (V/{\mathcal F})\); si \({\mathcal F}\) est simple, ce foncteur est une équivalence. Un morphisme \(f: V\to W\) transverse à un feuilletage \({\mathcal F}\) induit un foncteur \(f: \pi\) (f\({}^{-1}({\mathcal F}))\to \pi ({\mathcal F})\) qui est une équivalence dans le cas où f est une surmersion à fibres connexes. Si \(\alpha\) (resp. \(\beta)\): \(\pi\) (\({\mathcal F})\to V\) est le morphisme source (resp. but) la restriction, pour \(x_ 0\in V\) fixé, \(\beta_{x_ 0}\) de \(\beta\) à \(\pi_{x_ 0}\), (\({\mathcal F})=\{\Phi \in \pi ({\mathcal F})| \alpha (\Phi)=x_ 0\}\) est un revêtement connexe, \(\pi (\beta^{-1}_{x_ 0}({\mathcal F}))\) est trivial et l’holonomie de \(\beta^{-1}_{x_ 0}({\mathcal F})\) est le noyau d’un foncteur naturel Hol(\({\mathcal F})\to \pi ({\mathcal F})\) où Hol(\({\mathcal F})\) est le groupoïde d’holonomie de \({\mathcal F}.\)
Ultérieurement, l’A. a défini un foncteur \(\pi\) (\({\mathcal F})\to \pi (B Hol({\mathcal F}))\), identifiant canoniquement \(\pi\) (\({\mathcal F})\) à un sous-\(groupo\ddot ide\) plein du groupoïde de Poincaré du classifiant B Hol(\({\mathcal F})\) du groupo\(\dddot ide\) topologique Hol(\({\mathcal F})\) [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 300, 639-642 (1985)] et a étendu la définition et les propriétés essentielles de \(\pi\) (\({\mathcal F})\) au cas d’un feuilletage singulier de Stefan [ibid. 301, 837- 840 (1985)].

MSC:
57R30 Foliations in differential topology; geometric theory
57R32 Classifying spaces for foliations; Gelfand-Fuks cohomology
55R35 Classifying spaces of groups and \(H\)-spaces in algebraic topology
58H10 Cohomology of classifying spaces for pseudogroup structures (Spencer, Gelfand-Fuks, etc.)
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Full Text: Numdam EuDML
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