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Existence domains of holomorphic functions of restricted growth. (English) Zbl 0649.32011

Für ein Gebiet \(G\) subset of \({\mathbb{C}}^ n\) sei \(V \subset O(G)\) ein \({\mathbb{C}}\)-Vektorraum holomorpher Funktionen auf G. Es heißt G ein V- Holomorphiegebiet, wenn es zu jedem Punkt z einer dichten Menge im Rand von G eine Funktion aus V gibt, die singulär in z ist. Mit der euklidischen Norm \(||.||\) im \({\mathbb{C}}^ n\) sei \[ \delta_ 0(z) := (1+||z||^ 2)^{-1/2},\;z\in{\mathbb{C}}^ n, \] und für \(z \in G\) sei \(\rho_ G(z)\) der euklidische Abstand von z zum Komplement \({\mathbb{C}}^ n \setminus G\) und \(\delta_ G) := \min\{\rho_ G, \delta_ 0\}\). Für \(N \geq 0\) sei \[ O^{(N)}(G,\delta_ G) := \{f \in O(G):\;||\delta^ n_ G\cdot f||_\infty < +\infty\} \] der \(\mathbb{C}\)-Vektorraum aller holomorphen Funktionen mit polynomialem Wachstum in G von einem Grad \(\leq N\). Dabei sei \(||.||_\infty\) die Supremumsnorm. Man beachte, daß \(O^{(0)}(G,\delta_ G)\) die Banachalgebra \(H^\infty(G)\) aller beschränkten holomorphen Funktionen in G ist. Man setze \[ O^{(0+)}(G) := \bigcap_{N > 0} O^{(N)}(G,\delta_ G). \] Schließlich sei \(L^ 2_ h(G) := L^ 2(G) \bigcap O(G)\) der \({\mathbb{C}}\)-Vektorraum aller Lebesgue-quadratintegrierbaren holomorphen Funktionen in \(G\). In den Fällen \(V \in \{H^\infty(G), O^{(0+)}(G), L^ 2_ h(G)\}\) heißt G vom Typ \(H^\infty\), \(O^{(0+)}\), bzw. \(L^ 2_ h\), falls G ein V-Holomorphiegebiet ist. Ferner heißt G vom Typ \(O^{(>0)}\), falls G für jedes \(N>0\) ein \(O^{(N)}(G,\delta_ G)\)- Holomorphiegebiet ist.
Im ersten Teil von §2 der vorliegenden Arbeit wird die analytische Fortsetzung holomorpher Funktionen von polynomialem Wachstum über dünne Mengen hinweg untersucht. Für jedes Gebiet \(G \subset {\mathbb{C}}^ n\) sei \(G^*\) die Menge aller Punkte \(a \in {\mathbb{C}}^ n\), für die eine offene Umgebung \(U_ a\) und eine dünne Menge \(M_ a \subset U_ a\) existieren, so daß \(U_ a \setminus M_ a \subset G\). Stets ist \(G^*\) offen und es gilt \(G \subset G^* \subset G.\) Für \(0 \leq N < 1\) werden dann z.B. die folgenden Aussagen bewiesen:
(i) \(O^{(N)}(G,\delta_ G) \subset O(G^*).\)
(ii) Wenn G ein \(O^{(N)}(G,\delta_ G)\)-Holomorphiegebiet ist, so ist \(G=G^*\).
(iii) Wenn G ein n-zirkulares \(O^{(N)}(G,\delta_ G)\)- Holomorphiegebiet ist, so ist G fett, d.h. \(G = \overset \circ {\bar G}.\)
Hierbei heißt G n-zirkular, wenn für alle \(z = (z_ 1,...,z_ n) \in G\) und alle \(\lambda_ 1,..., \lambda_ n \in {\mathbb{C}}\) mit \(|\lambda_ 1)| =... = |\lambda_ n)| = 1\) auch \((\lambda_ 1 z_ 1,..., \lambda_ n z_ n) \in G\) gilt.
Im zweiten Teil von §2 wird das Problem untersucht, welche offenen Mengen der Form \(G = \{z \in D:\;u(z) < 0\}\) vom Typ \(O^{(>0)}\) sind, wobei D ein Holomorphiegebiet im \({\mathbb{C}}^ n\) ist, und wobei u in PSH(D) gilt. Für \(u \in {\mathbb{R}}^{(N)}(D)\) setze man entweder voraus, daß \(D^*\) ein \(O^{(N)}(D^*,\delta_ D)\)-Holomorphiegebiet ist, oder daß \(G \subset D^*\) gilt (die Funktionenklasse \({\mathbb{R}}^{(N)}(D)\) soll hier nicht genauer charakterisiert werden). Dann gilt:
(v) Für \(G = G^*\) ist G ein \(O^{(N)}(G,\delta_ G)\)- Holomorphiegebiet.
(vv) Für \(0 \leq N < 1\) ist \(G^*\) ein \(O^{(N)}(G^*,\delta_ G)\)- Holomorphiegebiet. Aus (iii) und (v) folgt, daß ein n-zirkulares Holomorphiegebiet G der oben beschriebenen Art genau dann vom Typ \(O^{(>0)}\) ist, wenn G fett ist. Um schließlich die Hauptergebnisse von §3 zu formulieren, setze man für jede Teilmenge \(A \subset {\mathbb{C}}^ n:\) \[ \log A := \{(x_ 1),...,x_ n)) \in {\mathbb{R}}^ n:\;(e^{x_ 1},...,e^{x_ n}) \in A\}. \] Für ein Gebiet \(G \subset {\mathbb{C}}^ n\) ist dann die Konvexität von \(\log G\) äquivalent damit, daß \(G\) ein Holomorphiegebiet ist. Ferner sei für einen konvexen Bereich \(X \subset {\mathbb{R}}^ n\) mit \(E(X)\) der eindeutig bestimmte Unterraum des \({\mathbb{R}}^ n\) von maximaler Dimension bezeichnet, der die Eigenschaft \(X + E(X) = X\) besitzt. Schließlich heißt ein Unterraum \(E \subset {\mathbb{R}}^ n\) von rationalem Typ, wenn er von E intersection \({\mathbb{Q}}^ n\) erzeugt wird. Es gelten dann die folgenden Theoreme:
Theorem 1: Für n-zirkulare Holomorphiegebiete \(G \subset {\mathbb{C}}^ n\) sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) G ist vom Typ \(H^\infty;\)
(ii) G ist vom Typ \(O^{(0+)};\)
(iii) G ist fett und der \({\mathbb{R}}\)-Vektorraum \(E(\log G)\) ist von rationalem Typ.
Theorem 2: Für fette n-zirkulare Holomorphiegebiete \(G \subset {\mathbb{C}}^ n\) sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) \(L^ 2_ h(G) \neq \{0\}\);
(ii) \(E(\log G) = \{0\}\);
(iii) G ist vom Typ \(L^ 2_ h\). Schließlich wird in §3 eine explizite Konstruktion der \(H^\infty\)-Holomorphiehülle von G angegeben.
Reviewer: E.Gottschling

MSC:

32D05 Domains of holomorphy
32D10 Envelopes of holomorphy
32T99 Pseudoconvex domains
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