×
Lévy-Bruhl, P.; Nourrigat, J.

Coherent states, spectral theory and representations of nilpotent groups. (États cohérents, théorie spectrale et représentations de groupes nilpotents.) (French) Zbl 0831.35118

Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 27, No. 6, 707-757 (1994).
Soient \({\mathcal G}\) une algèbre de Lie nilpotente stratifiée, \(\Delta\) le sous-Laplacien de Kohn, \(N (\lambda)\) le nombre des valeurs propres inférieures à \(\lambda\) de l’image de \(\Delta\) par une représentation unitaire irréductible \(\pi\), \[ N_o (\lambda) : = \mu \bigl\{ \ell \in o (\pi); |||\ell |||\leq \lambda^2 \bigr\} \] où \(o (\pi)\) est l’orbite de Kirillov de \(\pi, \mu\) est la mesure canonique sur l’orbite et \(|||\cdot |||\) est la norme homogène. On prouve alors qu’il existe une constante \(C > 1\), ne dépendant que de \({\mathcal G}\), telle que \[ C^{-1} N_o (\lambda/C) \leq N (\lambda) \leq CN_o (C \lambda). \] On obtient aussi une “diagonalisation approchée” de l’image par \(\pi\) d’un opérateur homogène sur \({\mathcal G}\), qui est utilisée pour prouver certaines conjectures sur les ensembles limite des représentations du livre de B. Helffer et J. Nourrigat [Hypoellipticité maximale pour des opérateurs polynômes de champs de vecteurs (Birkhäuser 1985; Zbl 0568.35003)]. On utilise le calcul le Wick ainsi qu’une construction des états cohérents associées à la représentation \(\pi\).
Reviewer: V.Iftimie (Bucureşti)

MSC:

35P20 Asymptotic distributions of eigenvalues in context of PDEs
35S05 Pseudodifferential operators as generalizations of partial differential operators
81R30 Coherent states
22E27 Representations of nilpotent and solvable Lie groups (special orbital integrals, non-type I representations, etc.)
43A80 Analysis on other specific Lie groups

Keywords:

coherent states; nilpotent Lie algebra; Kohn sub-Laplacian; approximative diagonalization

Citations:

Zbl 0568.35003
PDF BibTeX XML Cite
\textit{P. Lévy-Bruhl} and \textit{J. Nourrigat}, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 27, No. 6, 707--757 (1994; Zbl 0831.35118)
Full Text: DOI Numdam EuDML
  • logo of hbz
  • logo of WorldCat

References:

[1] S. T. ALI , J. P. ANTOINE et J. P. GAZEAU , Square Integrability of Group Representations on Homogeneous Spaces (Ann. de l’I.H.P., Physique théorique, vol. 55, 4, 1991 , p. 829-855 et 857-980). Numdam | MR 93a:22002 | Zbl 0752.22002 · Zbl 0752.22002
[2] A. CORDOBA et C. L. FEFFERMAN , Wave Packets and Fourier Integral Operators (Comm. in P.D.E., vol. 3, 11, 1978 , p. 979-1005). MR 80a:35117 | Zbl 0389.35046 · Zbl 0389.35046
[3] C. L. FEFFERMAN , The Uncertainty Principle (Bull. A.M.S., vol. 9, 1993 , p. 129-206). Article | MR 85f:35001 | Zbl 0526.35080 · Zbl 0526.35080
[4] G. B. FOLLAND , Subelliptic Estimates and Function Spaces on Nilpotent Lie Groups (Ark. för Math., vol. 13, 1975 ). MR 58 #13215 | Zbl 0312.35026 · Zbl 0312.35026
[5] P. GÉRARD , Moyennisation et régularité d’ordre deux-microlocale (Ann. Sc. École Norm. Sup., vol. 23, 1, 1990 , p. 89-121). Numdam | MR 91g:35068 | Zbl 0725.35003 · Zbl 0725.35003
[6] R. GOODMAN , Nilpotent Lie Groups (Lect. Notes in Math., n^\circ 562, Springer, 1976 ). MR 56 #537 | Zbl 0347.22001 · Zbl 0347.22001
[7] B. HELFFER J. NOURRIGAT , Hypoellipticité maximale pour des opérateurs polynômes de champs de vecteurs (Progress in Math., vol. 58, Birkhauser, 1985 ). MR 88i:35029 | Zbl 0568.35003 · Zbl 0568.35003
[8] A. KIRILLOV , Unitarity Representations of Nilpotent Groups (Russian Math. Survey, vol. 17, 1962 , p. 53-104). MR 25 #5396 | Zbl 0106.25001 · Zbl 0106.25001
[9] P. G. LEMARIE , Base d’ondelettes sur les groupes de Lie stratifiés (Bull. S.M.F., vol. 117, 1989 , p. 211-232). Numdam | MR 90j:42066 | Zbl 0711.43004 · Zbl 0711.43004
[10] P. LÉVY-BRUHL , A. MOHAMED et J. NOURRIGAT , Étude spectrale d’opérateurs sur des groupes nilpotents (Séminaire ”Équations aux dérivées partielles”, École Polytechnique, Exposé 18, 1989 - 1990 ). Numdam | Zbl 0733.35086 · Zbl 0733.35086
[11] P. LÉVY-BRUHL , A. MOHAMED et J. NOURRIGAT , Spectral Theory and Representations of Nilpotent Groups (Bull. A.M.S., vol. 26, 1992 , p. 299-303). arXiv | MR 93g:35105 | Zbl 0749.35030 · Zbl 0749.35030
[12] P. LÉVY-BRUHL , A. MOHAMED et J. NOURRIGAT , Étude spectrale d’opérateurs liés à des représentations de groupes nilpotents (Journal of Functional Analysis, à paraître). Zbl 0777.35047 · Zbl 0777.35047
[13] D. MANCHON , Calcul symbolique sur les groupes de Lie nilpotents et applications (Journal of Functional Analysis, vol. 102, 1, 1991 , p. 206-251). MR 93a:22007 | Zbl 0745.22006 · Zbl 0745.22006
[14] D. MANCHON , Formule de Weyl pour les groupes de Lie nilpotents , (J. reine angew. Math., vol. 418, 1991 , p. 77-129). MR 92j:22023 | Zbl 0721.22004 · Zbl 0721.22004
[15] A. MELIN , Parametrix Constructions for Right Invariant Differential Operators on Nilpotent Groups (Ann. Global Anal. and Geom., vol. 1, 1, 1983 , p. 79-130). MR 86f:58154 | Zbl 0524.58044 · Zbl 0524.58044
[16] A. MOHAMED et J. NOURRIGAT , Encadrement du N (\lambda ) pour des opérateurs de Schrödinger avec champ magnétique , (J. de Math. pures et appl., vol. 70, 1990 , p. 87-99). MR 92a:35122 | Zbl 0725.35068 · Zbl 0725.35068
[17] N. MOUKADEM , Interpolation pour les espaces de Sobolev liés à des représentations de groupes (Thèse, Rennes, 1981 ).
[18] A. NAGEL , E. M. STEIN et S. WAINGER , Balls and Metrics Defined by Vectors Fields (Acta Math., vol. 155, 1985 , p. 103-147). MR 86k:46049 | Zbl 0578.32044 · Zbl 0578.32044
[19] J. NOURRIGAT , Inégalités L2 et représentations de groupes nilpotents (J. Funct. Analysis, vol. 74, 2, 1987 , p. 300-327). MR 89k:22015 | Zbl 0644.35026 · Zbl 0644.35026
[20] J. NOURRIGAT , Subelliptic Systems (Comm. in P.D.E., vol. 15, 3, 1990 , p. 341-405). MR 91c:35040 | Zbl 0723.35089 · Zbl 0723.35089
[21] J. NOURRIGAT , Systèmes sous-elliptiques II (Inventiones Math., vol. 104, 1991 , p. 377-400). MR 92f:35048 | Zbl 0771.35086 · Zbl 0771.35086
[22] J. NOURRIGAT , L2 estimates and Représentations of Nilpotent Groups , Cours à l’école CIMPA-UNESCO d’analyse harmonique, Wuhan (Chine), avril-mai 1991 (World Scientific, à paraître).
[23] A. PERELOMOV , Generalized Coherent States and Their Applications (Texts and monographs in Physics, Springer, 1981 ). Zbl 0605.22013 · Zbl 0605.22013
[24] M. A. SHUBIN , Pseudodifferential Operators and Spectral Theory , Springer, 1978 . · Zbl 0451.47064
[25] J. SJOSTRAND , Singularités analytiques microlocales (Astérisque, vol. 95, 1982 ). MR 84m:58151 | Zbl 0524.35007 · Zbl 0524.35007
[26] A. UNTERBERGER , Quantification relativiste (Mémoires de la S.M.F., vol. 44-45, 1991 ). Numdam | MR 93d:58163 | Zbl 0745.35057 · Zbl 0745.35057
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.