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Coherent states, spectral theory and representations of nilpotent groups. (États cohérents, théorie spectrale et représentations de groupes nilpotents.) (French) Zbl 0831.35118

Soient \({\mathcal G}\) une algèbre de Lie nilpotente stratifiée, \(\Delta\) le sous-Laplacien de Kohn, \(N (\lambda)\) le nombre des valeurs propres inférieures à \(\lambda\) de l’image de \(\Delta\) par une représentation unitaire irréductible \(\pi\), \[ N_o (\lambda) : = \mu \bigl\{ \ell \in o (\pi); |||\ell |||\leq \lambda^2 \bigr\} \] où \(o (\pi)\) est l’orbite de Kirillov de \(\pi, \mu\) est la mesure canonique sur l’orbite et \(|||\cdot |||\) est la norme homogène. On prouve alors qu’il existe une constante \(C > 1\), ne dépendant que de \({\mathcal G}\), telle que \[ C^{-1} N_o (\lambda/C) \leq N (\lambda) \leq CN_o (C \lambda). \] On obtient aussi une “diagonalisation approchée” de l’image par \(\pi\) d’un opérateur homogène sur \({\mathcal G}\), qui est utilisée pour prouver certaines conjectures sur les ensembles limite des représentations du livre de B. Helffer et J. Nourrigat [Hypoellipticité maximale pour des opérateurs polynômes de champs de vecteurs (Birkhäuser 1985; Zbl 0568.35003)]. On utilise le calcul le Wick ainsi qu’une construction des états cohérents associées à la représentation \(\pi\).

MSC:

35P20 Asymptotic distributions of eigenvalues in context of PDEs
35S05 Pseudodifferential operators as generalizations of partial differential operators
81R30 Coherent states
22E27 Representations of nilpotent and solvable Lie groups (special orbital integrals, non-type I representations, etc.)
43A80 Analysis on other specific Lie groups

Citations:

Zbl 0568.35003
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Full Text: DOI Numdam EuDML

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