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Normal algebraic number fields. (English) JFM 67.0981.03
Die vorliegende Arbeit bildet die genaue Ausführung der 1940 angezeigten Verallgemeinerung der Klassenkörpertheorie für zyklische Erweiterungen über dem algebraischen Zahlkörper \(k\) auf galoissche Körper \(K\) über \(k\) mit der Galoisgruppe \(\varGamma\) vom Grad \(n\) (vgl. Proc. nat. Acad. Sci. USA 26 (1940), 122-125; F. d. M. 66, 122).
Wie in der klassischen Klassenkörpertheorie bei zyklischen Erweiterungen die Idealklassen spielen in dieser Theorie die Idealalgebrenklassen eine entscheidende Rolle. Für eine “wirkliche” normale einfache Algebra \(S\) über \(k\) kann man durch \(S\times k_{\mathfrak p}=S_{\mathfrak p}\), \(\mathfrak p\) ein Primdivisor von \(k\), die \(\mathfrak p\)-Komponenten von \(S\) definieren. Sie sind normale einfache Algebren über \(k_{\mathfrak p}\) und bis auf endlich viele \(\mathfrak p\) vom Grad 1 über \(k_{\mathfrak p}\). Umgekehrt braucht nach Wahl je einer normalen einfachen Algebra \(S_{\mathfrak p}\) über \(k_{\mathfrak p}\), wobei nur endlich viele \(S_{\mathfrak p}\) einen von 1 verschiedenen Grad über \(k_{\mathfrak p}\) besitzen, das so entstehende System \(\mathfrak S\) keine wirkliche Algebra \(S\) mit den Komponenten \(S_{\mathfrak p}\) zu sein. \(\mathfrak S\) heißt Idealalgebra mit den Komponenten \(\mathfrak S_{\mathfrak p}=S_{\mathfrak p}\). Die Ähnlichkeit zweier Idealalgebren sowie die direkte Multiplikation werden komponentenweise erklärt. Man sagt, \(\mathfrak S\) wird zerfällt durch \(K\), wenn für jedes \(\mathfrak p\) der Grad von \(\mathfrak S_{\mathfrak p}\), über \(k_{\mathfrak p}\) ein Teiler des Körpergrades \(m_{\mathfrak p}=[K_{\mathfrak P}/k_{\mathfrak p}]\) ist, und das soll im folgenden vorausgesetzt werden. Bezeichnet \(\mathfrak M\) einen Divisor aus \(K\), in dem alle Primteiler \(\mathfrak P\) der in \(K/k\) verzweigten Primdivisoren \(\mathfrak p\) mit positiven Exponenten auftreten, z. B. den am Schluß der Arbeit definierten Faktorsystem-Führer, so soll durch einen Strich angedeutet werden, daß es sich um zu \(\mathfrak M\) relativ prime Größen handelt. Als “Klassengruppe” tritt dann hier die Algebren-Restklassengruppe \(\mathfrak S'\) nach \(S'\) der Klassen der zu \(\mathfrak M\) primen durch \(K\) zerfällten Idealalgebren nach der Gruppe der Klassen der wirklichen zu \(\mathfrak M\) primen durch \(K\) zerfällten Algebren auf. Die Berechnung des Index \(J=[\mathfrak S':S']\) liefert dann die Aussagen der verallgemeinerten Klassenkörpertheorie.
Um hier zu einer dem zyklischen Fall entsprechenden Ausdrucksweise zu kommen, werden die den zyklischen Algebren entsprechenden verschränkten Produkte \((K/k,\varGamma,F)\) benutzt. Diese Algebren über \(k\), die \(K\) als Teilkörper enthalten, sind bestimmt durch ein Faktorsystem \(F=FA\) aus der Gruppe \(A\) aller von 0 verschiedenen Elemente von \(K\). Ein solches Faktorsystem \(F_{\sigma,\tau}\), \(\sigma\), \(\tau\) aus \(\varGamma\), das die Assoziativbedingung \(F_{\sigma,\tau}F_{\sigma\tau,\rho}=F^\sigma_{\tau,\rho} F_{\sigma,\tau\rho}\) erfüllen soll, kann als Multiplikationstabelle der Restklassenrepräsentanten \(u_\sigma\) der Restklassengruppe \(A^\varGamma\) nach \(A\) dienen, und die Linearkombinationen \(\sum\limits_\sigma B_\sigma u_\sigma\), \(B_\sigma\) aus \(K\), \(\sigma\) aus \(\varGamma\), bilden eine normale einfache Algebra der Ordnung \(n^2\) über \(k\), eben das verschränkte Produkt \((K/k,\varGamma,F)\). Unterscheiden sich zwei Faktorsysteme nur um ein Transformationssystem \(TA\) (von der Form \(A_\sigma A^\sigma_\tau A^{-1}_{\sigma\tau}\)), so bestimmen sie dasselbe verschränkte Produkt. Das direkte Produkt zweier verschränkter Produkte gehört zu dem Faktorsystem, das durch komponentenweise Multiplikation der Ausgangsfaktorsysteme entsteht. Zwischen den verschränkten Produkten und den Faktorsystemklassen besteht daher eine Homomorphie.
Bildet man entsprechend Idealfaktorsysteme \(\mathfrak F=F\mathfrak A\) aus der Gruppe \(\mathfrak A\) aller Ideale in \(K\), und heißen zwei solche Systeme wieder ähnlich, wenn sie sich nur um ein Transformationssystem \(T\mathfrak A\) unterscheiden, so ist \(\mathfrak S'\) homomorphes Bild der Gruppe der Idealfaktorsysteme \(F\mathfrak A'\), und \(T\mathfrak A'\) wird dabei auf eine Gruppe wirklicher zu \(\mathfrak M\) primer Algebren aus \(S'\) abgebildet. Andererseits wird jedes Hauptidealfaktorsystem (\(F''\)) (der zweite Strich deutet an, daß nicht nur \(F'\), sondern auch die Algebra \((K/k,\varGamma,F'')\) relativ prim zu \(\mathfrak M\) sein soll) auf eine wirkliche Algebra aus \(S'\) abgebildet, und zwar ist \(S'\) das Bild von \(F\mathfrak A'\cdot(F'')\). Es gilt \[ J=[\mathfrak S':S']=[F\mathfrak A':T\mathfrak A'\cdot(F'')], \] und die Aufspaltung des rechten Index in gruppentheoretische Invarianten liefert die Struktur der Algebrenklassengruppe, während aus der linken Seite sich \(J\) als das kleinste gemeinsame Vielfache \(J(\varGamma\)) der Ordnungen der Elemente \(\varGamma\) ergibt (im abelschen, nichtzyklischen Fall ist diese Gruppe daher nicht isomorph \(\varGamma\) selbst, während der zyklische Fall die klassische Theorie liefert). Eine tabellenartige Gegenüberstellung der Begriffe und Eigenschaften im zyklischen und galoisschen Fall bildet den Abschluß dieses ersten Kapitels.
Die in Kap. II und III durchgeführte gruppentheoretische Behandlung des rechten Index wird dadurch übersichtlich, daß die Verf. zunächst die gruppentheoretischen Prinzipien formulieren, die bei Indexberechnungen benutzt werden, und nachher stets die verwendete Methode angeben. Als erstes wird aufgespalten \[ J=[F\mathfrak A':(F'')][T\mathfrak A':T\mathfrak A'\cap(F'')]^{-1}. \] Wie in der klassischen Theorie spielen beim Übergang von Hauptidealen zu Körperelementen die Einheiten herein, und zwar tritt neben den mit Einheiten aus \(K\) gebildeten Faktorsystemen \(FE\) und \(TE\) die Gruppe \(UE\) aller verschränkten Charaktere auf, d. h. der aus Einheiten aus \(K\) gebildeten Vektoren \(U(\sigma)\) mit der Kompositionsregel \(U(\sigma) [U(\tau)]^\sigma=U(\sigma\tau)\); \(A^{1-\sigma}\) ist ein Einheitscharakter. Als Zwischenergebnis erhält man \[ J=[F\mathfrak A':(F')]H^{1-n}h^{-1}[F':F''](\varPi e_{\mathfrak p})^{-1}J(E), \] wo \(J(E)=[UE:E^{1-\sigma}][FE:TE]^{-1}\) nur von der Struktur der Einheitengruppe in \(K\) abhängt. Die Idealklassenzahlen \(H\) und \(h\) von \(K\) und \(k\) fallen wieder heraus, wenn \([F\mathfrak A':(F')]\) durch neue gruppentheoretische Invarianten, die Schrumpfungsindizes (deficiency index) \(\omega(R_1,R_2)\), ausgedrückt wird. Sie treten auf bei Benutzung homomorpher Abbildungen, bei denen die Untergruppe \(R_2\) der abgebildeten abelschen Gruppe \(R_1\) auf die 1 abgebildet wird. \([F':F'']\) kompensiert das Produkt der Verzweigungsordnungen, soweit es über endliche Primdivisoren läuft, und bringt die Invariante \(n^*=(n,J(\varGamma)\cdot n/e_1,\ldots, J(\varGamma)\cdot n/e_t)\) herein, so daß jetzt gilt \[ J=n^*n^{-1}\omega(A',E)[\omega(\mathfrak A',(A'))]^{-1}J(E)[J(\mathfrak A^*)]^{-1} 2^\varrho, \] wo \(J(\mathfrak A^*)=[U\mathfrak A^*:\mathfrak A^{*1-\sigma}][F\mathfrak A^*:T\mathfrak A^*]^{-1}\) nur von der Struktur der Idealklassengruppe \(\mathfrak A^*\) in \(K\) abhängt.
Die in Kap. III durchgeführte Berechnung von \(J(E)\) führt auf den entsprechend gebildeten Index \(J(E^*)\) für die Herbrandsche Einheitengruppe. Der auftretende Korrekturfaktor \(\varPhi\) (\({}=1\) im zyklischen Fall) kann von 1 verschieden sein, wie am Beispiel der Vierergruppe gezeigt wird. Die Bestimmung von \(\varPhi\) erfordert eine ausgedehnte Untersuchung, bei der das durch die verschränkten Charaktere definierte Hauptgeschlecht auftritt, für das ein Hauptgeschlechtssatz gilt.
In Kapitel IV wird dann die Endformel zusammengestellt und eine “Diskussion der (sämtlich endlichen) Faktoren durchgeführt, die mit der Angabe von Beispielen schließt.
Im Schlußkapitel V werden die Kassischen Symbole für Faktorsysteme verallgemeinert. So heißt die kleinste Potenz \(\mathfrak P^h\) mit \(h\geqq 0\), für die aus \(F_{\xi,\eta}\equiv 1\pmod{\mathfrak P^h}\) für alle \(\xi\), \(\eta\) folgt, daß \(FA\) ein Transformationssystem \(TA\) ist, der lokale Führer \(\mathfrak C_{\mathfrak P}(K/k)\). Dann gilt der Satz: \(\mathfrak C_{\mathfrak P}(K/k)=1\) dann und nur dann, wenn \(\mathfrak P\) in \(K/k\) unverzweigt ist. Als Faktorsystem-Führer wird das Produkt aller lokalen Führer erklärt; mit seiner Hilfe können Zerlegungsgesetze formuliert werden, die im zyklischen Fall zu Aussagen mit dem gewöhnlichen Führer werden.
Das verallgemeinerte Normenrestsymbol für ein Faktorsyslem \(F\) ist kein Element von \(\varGamma\), besitzt aber Eigenschaften des klassischen Normenrestsymbols. Es ist erklärt als \((K/k,F;\mathfrak p)=\exp(2\pi i (\mu_{\mathfrak p}/n))\), wo \(\mu_{\mathfrak p}=\mu_{\mathfrak p}(K/k,\varGamma,F)\equiv \mu_{\mathfrak p}(K/k,\varGamma,F)_{\mathfrak P}\pmod{n}\) eine mod \(n\) definierte additive Invariante des durch \(F\) bestimmten verschränkten Produkts ist; sie tritt schon in den Entwicklungen von Kap. I auf. \((K/k,F;\mathfrak p)\) hängt nur von der multiplikativen Restklasse der Elemente \(F_{\xi,\eta}\) modulo dem Führer \(\mathfrak C_{\mathfrak P}(K/k)\) ab, wenn \(\xi\), \(\eta\) die Zerlegungsgruppe eines Primfaktors \(\mathfrak P\) von \(\mathfrak p\) in \(K\) durchlaufen. Es lassen sich mit dem Normenrestsymbol verschiedene Zerlegungsgesetze aussprechen, z. B. zerfällt \(\mathfrak p\) vollkommen in \(K\), wenn \((K/k,F;\mathfrak p)=1\) ist.
Das verallgemeinerte Artinsymbol wird mit Idealfaktorsystemen an Stelle der Ideale der klassischen Theorie definiert: \[ (K\mid\mathfrak F)=\exp\left\{2\pi i\sum_{\mathfrak p}\mu_{\mathfrak p} (\mathfrak F)n^{-1}\right\} \] mit für Idealalgebren verallgemeinerten Invarianten \(\mu_{\mathfrak p}(\mathfrak F)\). Die Abbildung von \(\mathfrak F\) auf das Artinsymbol \((K\mid\mathfrak F)\) liefert eine isomorphe Abbildung der Gruppe \(F\mathfrak A'/T\mathfrak A'\cdot(F'')\) auf die Gruppe der \(J\)-ten Einheitswurzeln.
Schließlich werden Körperketten untersucht, man erhält z. B. ein Übertragungsgesetz für das Normenrestsymbol. -
Der Aufbau der Theorie wird in dieser Darstellung in allen Einzelheiten durchgeführt. Sehr angenehm ist die deutliche Kenntlichmachung aller Definitionen und die Formulierung der Ergebnisse in Sätzen und Hilfssätzen. Abschließend wird ein reichhaltiges Schrifttumsverzeichnis gegeben, auf das im Laufe der Arbeit stets hingewiesen wird.
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