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Distributed control of the wave equation in thin domains. (Contrôle distribué de l’équation des ondes dans des domaines minces.) (French) Zbl 0952.93063

Dans cette note on considère un domaine fixe [voir J. Saint Jean Paulin et M. Vanninathan, Port. Math. 51, 421-453 (1994; Zbl 0809.93025)].
On introduit une transformation de la forme \[ (x_1,x_2,x_3)\in O'\to (z_1, z_2, z_3)\in O \] où \[ z_\alpha= x_\alpha, \quad \alpha\in \{1,2\}, \quad z_3= \frac{x_3}{e}, \] \(e\) représente l’épaisseur du domaine mince. Dans ce cas le problème a résoudre devient:
Pour \(\{y_e^0, y_e^1\}\) convenablement choisis, trouver un contrôle \(v_e\) distribué dans tout l’ouvert O tel que si y vérifie: \[ \begin{aligned} y_e''- \Delta_e y_e= v_e, &\quad\text{dans}\quad O\times ]0,T[,\\ \frac{\partial y_e}{\partial v}= 0, &\quad\text{sur} \quad \Omega\times \{\pm \tfrac 12\}\times ]0,T[,\\ y_e= 0, &\quad\text{sur} \quad\partial \Omega\times ]-\tfrac 12,\tfrac 12[\times ]0,T[,\\ y_e(0)= y_e'',\;y_e'(0)= y_e', &\quad\text{dans} \quad O, \end{aligned} \] avec \[ \Delta_e= \frac{\partial^2} {\partial z_1^2}+ \frac{\partial^2} {\partial z_2^2}+ e^{-2} \frac{\partial^2} {\partial z_3^2} \] on ait: \[ y_e(T)= y_e'(T), \quad\text{dans }0. \] La contrôlabilité exacte de l’équation des ondes dans des domaines minces a été etudiée par J. L. Lions [Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisation de systèmes distribués. Tome 2, Paris (1988; Zbl 0653.93003)] pour la contrôlabilité exacte de la frontière, puis par J. Yan (1992) et J. Saint Jean Paulin et M. Vanninathan (loc. cit.). Les résultats de contrôlabilitédes Sections 2 et 3 se démontrent en utilisant les résultats obtenus par A. Haraux (1987-1988).
Dans la Section 4 on considère le cas où les données initiales \(y_e^0\) et \(y_e^1\) sont très régulières.
On étudie par la méthode d’unicité hilbertienne utilisée par J. I. Lions [loc. cit. Tome 1 (1988; Zbl 0653.93002)] la contrôlabilité exacte interne d’un corps tridimensionnel de faible épaisseur. Ensuite on fait tendre l’épaisseur \(e\) vers zéro et on montre que la limite de contrôle exact est celui du système limite bidimensionnel. On démontre des résultats de convergence forte pour la suite des contrôles.

MSC:

93C20 Control/observation systems governed by partial differential equations
35L05 Wave equation
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