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Zur Asymptotik der Gleichungen von Navier-Stokes. (Asymptotics of Navier- Stokes equations). (German) Zbl 0629.35100

In der vorliegenden Arbeit wird für “schwache Lösungen” der Navier- Stokes-Gleichungen \[ u_ t-\Delta u+(u.\nabla)u+\nabla p=f, \] mit der Randbedingung \(u=0\), div u\(=0\) und einer Anfangsbedingung \(u(0,x)=u_ 0\) im Außengebiet \(\Omega \subset {\mathbb{R}}^ 3\), dessen Rand zur \(Klasse\)-C\({}^{\infty}\) gehört, die Konvergenz \(\lim_{t\to \infty} \| u(t)\|_{L^ 2(\Omega)}=0\) nachgewiesen.
Das Kernstück der Arbeit, als Antwort auf ein schwieriges und bislang offenes Problem, ist der Nachweis der Existenz einer schwachen Lösung des gegebenen Systems unter Aufstellung gewisser Bedingungen für die Daten f und \(u_ 0\), die der Energiegleichung \[ \| u(t)\|^ 2_{L^ 2}+2\int^{t}_{s} \| \nabla t\|^ 2_{L^ 2} d\tau \leq \| u(s)\|^ 2_{L^ 2}+2\int^{t}_{s} (f,u)d\tau \] für fast alle \(s\geq 0\) und alle \(t\geq s\) genügen.
Der Autor verwendet ein Approximationsverfahren unter Anwendung des Banach’schen Fixpunktsatzes bzw. eine \(L^ p\)-Abschätzung, und einen Satz von Masuda.
Reviewer: M.L.Mehra

MSC:

35Q30 Navier-Stokes equations
35D05 Existence of generalized solutions of PDE (MSC2000)
35B40 Asymptotic behavior of solutions to PDEs
76D05 Navier-Stokes equations for incompressible viscous fluids
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