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Comportement semi-classique en présence de symétries. Action d’un groupe de Lie compact. (Semiclassical behaviour in the presence of symmetries. Action of a compact Lie group). (French) Zbl 0756.35060

Le problème étudié ici par les auteurs est le suivant: \(P(h)\) est un opérateur \(h\)-admissible sur \(\mathbb{R}^ n\) [au sens de B. Helffer and D. Robert, Am. J. Math. 106, 1199-1236 (1984; Zbl 0583.58029), 108, 973-1000 (1986; Zbl 0605.58042)], essentiellement autoadjoint, de symbole principal \(p_ 0\) (un exemple type est l’opérateur de Schrödinger \(P(h)=-h^ 2\Delta+V(x)\) où \(V\) est un potentiel convenable). Un intervalle \(I\) étant donné, \[ N_ h(I)=\#\{j\mid\lambda_ j(h)\in I\} \] où \(\lambda_ i(h)\) jième valeur propre de \(P(h)\), avec sa multiplicité.
Les auteurs s’interessent ici (après divers travaux d’autres auteurs) au comportement asymptotique de \(N^ \rho_ h(I)\) correspondant à la fonction de comptage (comme ci-dessus) mais avec des vecteurs propres appartenant à un espace donné par une représentation irréductible \(\rho\) d’un groupe de Lie compact sous l’action duquel \(P(h)\) est invariant. Ils donnent alors un comportement asymptotique de \(N^ \rho_ h(I)\), avec premier terme très précis.
Reviewer: M.Derridj (Paris)

MSC:

35P20 Asymptotic distributions of eigenvalues in context of PDEs
35S30 Fourier integral operators applied to PDEs
22E70 Applications of Lie groups to the sciences; explicit representations
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