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On the form of definite differentials and integrals of two algebraic functions over their integrals. (Over den vorm van zekere differentialen, wier integralen zuiver algebraische functien zijn en over hunne integralen.) (Dutch) JFM 14.0209.01

Die Arbeit beschäftigt sich mit der Form gewisser Differentiale, deren Integrale rein algebraische Functionen sind, und ihrer Integrale. Zunächst wird \[ \int \root q \of {F(x)}\;dx \] worin \(F(x)\) eine rationale Function von \(x\) und \(q\) eine ganze positive Zahl bedeutet, besprochen und die allgemeinste Form angegeben, welche \(F(x)\) besitzen kann, wenn das genannte Integral ein rein algebraisches sein soll. Weiter werden die Fälle untersucht, in denen \(F(x)\) auf die Form gebracht ist: \[ (x-\alpha)^m(\beta+\gamma x+\cdots +\lambda x^n)^p, \] wo \[ \alpha,\beta,\dots,\lambda,m,n,p \] Constante sind, welche gewissen Bedingungen genügen. Besondere Fälle sind: \(x^m(a+bx^n)^p\) und \(x^m(a+bx+cx^{2n})^p\). Die betreffenden Integrale werden bestimmt. Darauf wird gezeigt, in welchen Fällen \[ \int x^m(a+bx^n)^p dx \] rein logarithmisch ist, und welches die allgemeinen Reductionsformeln dieses Integrals sind. Hinsichtlich der letztgenannten Form kommt der Verfasser zu dem Schluss: Wenn in \[ x^m(a+bx+cx^{2n})^p dx \] die Exponenten den Bedingungen \[ p=-\frac{2k+1}{2}\qquad (k=1,2,3,\dots), \]
\[ m= k_1n-1\qquad (k_1=1,2,\dots,2k) \] genügen, so ist das Integral rein algebraisch, und zwar gleich \[ \frac{C}{C^{1+p}}(a+bx^n+cx^{2n})^{1+p} (X^{rn}+A_nX^{(r- 1)n}+\cdots+A_{rn}), \] worin sich die Unbekannten \[ \frac{C}{C^{1+p}},\quad A_n,A_{2n},\dots A_{rn} \] aus \(r+1\) bekannten linearen Gleichungen ergeben und \[ r=2k- 1 \] ist.

MSC:

26A24 Differentiation (real functions of one variable): general theory, generalized derivatives, mean value theorems
26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type
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