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On the application of quaternions to mechanics and physics. (Over de toepassing der quaternionen op de mechanica en de natuurkunde.) (Dutch) JFM 25.1315.02

Amst. Akad. Verh. Sect. I, Deel II, No. 3, 3-30 (1894).
Zweck des Verfassers ist, die Ahwendung der Quaternionen auf verschiedene Teile der mathematischen Physik zu zeigen ohne Zuhülfenahme des Operators \(\nabla\). Nach den Ansichten des Verf. nämlich würde es vorteilhaft sein, bei der Herleitung der Grundgleichungen der Theorie des Potentials, der Elasticität und der Flüssigkeitsbewegung unmittelbar die Hamilton’sche lineare Vectorfunction und die dieselbe begleitenden Scalar- und Vectorgrössen einzuführen. Zum Beweise dieser Behauptung werden in der zuerst genannten Theorie die Laplace’sche und die Poisson’sche Gleichung hergeleitet. Ist \(F\) das Potential einer räumlichen Masse mit der Dichtigkeit \(m\) und \(dF=S\varkappa d\varrho\), so ist \(d\varkappa = \varphi d\varrho\) eine selbstconjugirte lineare Vectorfunction, und die Poisson’sche Gleichung lautet: \[ x_2 = 4\pi m, \] wo \(x_2\) eine der drei Invarianten der Function \(\varphi\) ist. In dieser Weise wird ein einfacher Beweis für den Green’schen Satz gegeben und eine Verallgemeinerung dieses Satzes in der Gestalt: \[ \int\psi\varkappa dv = \int NS\varkappa U\nu do - \int x_2Ndv \] mitgeteilt, wo \(N\) eine beliebige, von \(\varrho\) abhängige Vectorfunction, \(dN = \psi d\varrho\), \(U\nu\) ein Einheitsvector in der Richtung der nach aussen gezogenen Normale ist und \(x_2\), \(\varkappa\), \(F\) die oben angegebene Bedeutung haben.
Zunächst folgt eine allgemeine Theorie der Deformation, in der die Gleichungen zur Bestimmung der Grösse und der Richtungen der Hauptdilatationen aufgestellt werden; dieselben werden auf den Fall der Bewegung einer Flüssigkeit angewandt. Setzt man die Geschwindigkeit \(\overset{.}\varrho\) eines beliebigen Flüssigkeitsteilchens einer willkürlichen Vectorfunction von \(\varrho\) gleich, so ist \(d\overset{.}\varrho = \varphi d\varrho\) eine lineare Vectorfunction, deren Invariante \(x_2\) die Grösse der räumlichen Dilatation pro Zeiteinheit, und deren Rotationsvector \(\delta\) die Grösse der Wirbelgeschwindigkeit und die Richtung der momentanen Drehungsaxe der Teilchen zu erkennen giebt.
Im nächsten Abschnitt werden die hydrodynamischen Bewegungsgleichungen aufgestellt und hieraus diejenigen der Wirbel in der einfachen Gestalt \[ \frac{d\delta}{dt} = \varphi\delta \] gewonnen. Beweis der bekannten Eigenschaften dieser Bewegung. Zuletzt wird die Theorie der stationären Ausströmung einer Flüssigkeit mit Strahlbildung auseinandergesetzt. Die Function \(\varphi\) ist sodann, wenn ein Geschwindigkeitspotential angenommen wird, selbstconjugirt. In der Begrenzungsfläche soll der Bedingung genügt werden: Für \(T\overset{.}\varrho=\) constant muss \(S\overset{.}\varrho\varphi\overset{.}\varrho\) verschwinden. In Verbindung mit der allgemeinen Flächentheorie leitet der Verf. hieraus für incompressible Flüssigkeiten den nachstehenden Satz her: In jedem Punkte, wo die freie Oberfläche des Strahles eine äquipotentiale Fläche trifft, hat letztere zwei gleiche, aber entgegengesetzt gerichtete Hauptkrümmungsradien. Bezeichnet man dieselben mit \(R_1\) und \(R_2\), so gilt für eine compressible Flüssigkeit die Relation: \[ \frac1{R_1} + \frac1{R_2} = \frac1v\frac{d\log m}{dt}, \] wo \(v\) die Grösse der Geschwindigkeit in der Oberfläche des Strahles, \(m\) die Dichtigkeit ist.
In einem Anhange werden die Gleichungen, welche die Richtungen und Grössen der Hauptdilatationen für eine beliebige endliche Deformation bestimmen, vollständig gelöst.