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On the theory of algebraic functions of two variables. (Zur Theorie der algebraischen Functionen zweier Veränderlicher.) (German) JFM 31.0422.03

Für die Behandlung der algebraischen Functionen von zwei (und mehr) Veränderlichen sind einerseits die von Dedekind und Kronecker geschaffenen arithmetischen Theorien der Zahlkörper, andererseits die functionentheoretischen Anschauungen Riemann’s vorbildlich. — Führt man, von zwei unabhängigen Veränderlichen \(x\), \(y\) ausgehend, durch eine algebraische Gleichung \(F(x y, z)=0\) \(z\) als algebraische Function von \(x\) und \(y\) ein, so wird der aus der Gesamtheit aller rationalen Functionen von \(x\) und \(y\) bestehende Körper durch Adjunction von \(z\) zu einem Körper algebraischer Functionen von \(x\) und \(y\) erweitert. Derselbe besteht aus allen rationalen Functionen von \(x\), \(y\), \(z\) und heisst Körper \(n\)-ten Grades, wenn die Gleichung \(F(x, y, z)=0\) in Bezug auf \(z\) vom \(n\)-ten Grade ist. Innerhalb dieses Körpers kann zwischen ganzen und gebrochenen Functionen unterschieden werden, und es gelingt, durch Einführung der idealen Divisoren die Gesetze der Teilbarkeit und Zerlegung, welche im Bereiche der rationalen Zahlen oder Functionen herrschen, in vollem Umfange herzustellen. Bei der Behandlung dieser Fragen wird das von Kronecker geschaffene Hülfsmittel der Formen mehrerer Variabeln benutzt.
Man kann aber den Functionenkörper nach Riemann noch von einem allgemeineren Gesichtspunkte betrachten, indem man, zunächst die Unterscheidung zwischen \(x\), \(y\) als den unabhängigen und \(z\) als der abhängigen Veränderlichen aufhebend, das algebraische Gebilde ins Auge fasst, welches aus der Gesamtheit der Lösungstripel von \(F(x, y, z)=0\) besteht. Jede rationale Function von \(x\), \(y\), \(z\) hat an jeder Stelle des Gebildes einen bestimmten Wert. Es lassen sich ferner auf mannigfache Weise drei rationale Functionen \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\) angeben, aus denen jede Function des Körpers rational zusammengesetzt werden kann, und welche demgemäss an die Stelle von \(x\), \(y\), \(z\) treten können. Bei dieser Betrachtung verlieren \(x\), \(y\), \(z\) die führende Rolle, welche sie unter den Functionen des Körpers innegehabt. Zugleich werden manche Unterscheidungen, wie die zwischen ganzen und gebrochenen Functionen, aufgehoben. Dagegen ist der Begriff des (idealen) Divisors unabhängig von der Wahl der unabhängigen Veränderlichen. Diese Thatsachen liegen dem zweiten Teil der Abhandlung zu Grunde, welcher sich mit den Methoden beschäftigt, die in neuerer Zeit von Hensel zur Begründung der Theorie der algebraischen Functionen zweier Veränderlichen geschaffen wurden. Zunächst wird gezeigt, wie man für ein vorgegebenes Primideal \(\mathfrak P\) die Functionen des Körpers so auf einen Körper algebraischer Functionen einer Veränderlichen abbilden kann, dass mod. \(\mathfrak P\) congruenten Functionen dasselbe Bild entspricht und alle rationalen Beziehungen erhalten bleiben. Im Anschluss hieran ergiebt sich die Entwickelung jeder Function \(u\) des Körpers für das Primideal \(\mathfrak P\) in eine Reihe, welche nach Potenzen einer durch \(\mathfrak P\), aber nicht \(\mathfrak P^2\) teilbaren Function \(\pi\) des Körpers fortschreitet.
Die im letzten Teil der Abhandlung gegebenen Begriffsbestimmungen: die Einteilung der Primideale in gewöhnliche und solche, welche den Verzweigungspunkten der Riemann’schen Fläche bei Functionen einer Veränderlichen analog sind, der Begriff des Verzweigungsdivisors und des Divisors der Doppelcurve, sind zwar von der Wahl der unabhängigen Veränderlichen \(x\), \(y\) abhängig; doch erweist sich ihre Betrachtung auch bei der Erforschung solcher Eigenschaften des Körpers als vorteilhaft, welche gegenüber der Transformation dieser Veränderlichen invariant bleiben. Es wird eine allgemeine Formel aufgestellt, aus welcher eine Reihe solcher Eigenschaften abgeleitet werden kann.

MSC:

14Jxx Surfaces and higher-dimensional varieties
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