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Bemerkungen zu dem Sturm’schen Satze. (German) JFM 05.0073.01

In dem durch Division erhaltenen Systeme \(F(x), F'(x), F_2(x),\cdots\) können weniger als \(r+1\) Functionen vorkommen, wobei \(r\) die Zahl der von einander verschiedenen Wurzeln der algebraischen Gleichung \(F(x)=0\) bedeutet; in dem bekannten zuerst von Sylvester aufgestellten Systeme, dessen Functionen wir mit \(F(x), F'(x),\vartheta_{m-2}(x),\cdots\) bezeichnen, sind stets \(r+1\) enthalten, und \(\vartheta_{m-n}(x)\) ist eine ganze Function \(m-n\)ten Grades. Bezüglich der Zeichenreihen sind beide Functionenreihen äquivalent. Ist die erste Reihe vollzählig, so ist \(F_n(x): \vartheta_{m-n}(x)\) eine positive Constante. Ist sie dagegen nicht vollzählig und setzen wir fest, dass als Grad einer Function die höchste Potenz, welche vorkommen kann, angesehen wird, so wird, wenn in \(F_i(x)\) die \(k\) höchsten Coefficienten gleich null sind, dasselbe für \(\vartheta_{m-i}\) stattfinden, und \(\vartheta_{m-i-1}(x), \vartheta_{m-i-2}(x),\cdots \vartheta_{m-i-k}(x)\) stehen zu \(\vartheta_{m-i}(x)\) je in einem constanten Verhältniss. Aehnliche Resultate ergeben sich, wenn man statt der Sylvester’schen Functionen die Theilnenner der Kettenbruchentwickelung von \(F'(x): F(x)\) nimmt.
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Full Text: EuDML