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Über zwei Eulersche Aufgaben aus der Variationsrechnung. (Italian) JFM 44.0447.01

Sei \({\mathfrak K}_0\) eine fest gegebene, die beiden Punkte \(P_0\) und \(P_1\) der Ebene verbindende Kurve und (\({\mathfrak C}\) eine beliebige, dieselben Punkte verbindende Kurve, \(I_{{\mathfrak C}}\) die Länge von \(\mathfrak C\), \(K_{{\mathfrak C}}\) der (mit Vorzeichen versehene) Flächeninhalt, den \(\mathfrak C\) mit \({\mathfrak K}_0\) einschließt (d.h. der Wert des Integrales \(\frac12\int(xy' yx')dt\) erstreckt über \(\mathfrak C\) von \(P_0\) nach \(P_1\), sodann über \({\mathfrak K}_0\) von \(P_1\)i nach \(P_0\)). Unter der Voraussetzung, daß der Flächeninhalt, den die geradlinige Strecke \(P_0P_1\) mit \(R_0\) einschließt, positiv sei (ist er negativ, so sind im folgenden die Worte “Maximum” und “Minimum” zu vertauschen), werden die beiden folgenden Aufgaben behandelt: (1) Den Quotienten \(K_{{\mathfrak C}}/I_{{\mathfrak C}}\) zu einem Maximum zu machen, (2) das Produkt \(I_{{\mathfrak C}}\cdot K_{{\mathfrak C}}\) zu einem Minimum zu machen; und zwar handelt es sich nur um das relative Extremum (gegenüber benachbarten Vergleichskurven), da ein absolutes nicht vorhanden ist. Da die Lösung bei festgehaltenem \(I_{{\mathfrak C}}\) in der Aufgabe (1) \(K_{{\mathfrak C}}\) zu einem Maximum, in der Aufgabe (2) zu einem Minimum machen muß, kann sie nur ein Kreisbogen sein. Bezeichnet \(b^2\) den von der Strecke \(P_1 P_0\) mit \({\mathfrak K}_0\) eingeschlossenen Flächeninhalt, \(a\) die halbe Länge dieser Strecke, so gibt es bei der Aufgabe (1) keine oder eine (und zwar nur eine) Lösung, je nachdem \(\frac{b^2}{a^2}\leqq\frac{\pi}{2}\) oder \(> \frac{\pi'}{2}\). Besteht die Kurve \({\mathfrak K}_0\) aus den Ordinaten von \(P_0\) und \(P_1\) und dem zwischenliegenden Striche der \(x\)-Achse, so besagt bei gegebenem \(P_1\) die Bedingung für die Existenz einer Lösung, daß \(P_0\) im Innern einer gewissen Ellipse liegen muß. – Ganz ähnliche Resultate gelten für die Aufgabe (2).
Reviewer: Hahn, Prof. (Bonn)
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References:

[1] Euler, loc. cit., p. 161.
[2] Hadamard,Leçons sur le calcul des variations, p. 218.
[3] Euler, loc. cit., p. 153.
[4] Euler, loc. cit., p. 148.
[5] “ Gewöhnliche Curve {” im Sinn meinerVorlesungen über Variationsrechnung, p. 192, gleichbeutendend mit einer stetigen Curve, welche aus einer endlichen Anzahl von Bogen besteht, für welchex, y stetig differentiierbare Functionen eines Parameterst sind undx’ 2+y’ 2>0.}
[6] Vgl. z. B. meineVorlesungen, etc., § 59, c).
[7] Mit Hilfe der Weierstrass’schen Construction zu beweisen; vgl. z. B., § 63, h) und § 64, a) meinerVorlesungen.
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