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Numerics with automated result verification. (Numerik mit automatischer Ergebnisverifikation.) (German) Zbl 0796.65064

Der Artikel führt in das Wesen der automatischen Ergebnisverifikation ein, zeigt die Mängel des herkömmlichen Gleitkommarechnens und wie diese sowohl numerisch als auch mathematisch behoben werden können. Hervorzuheben bei diesem Artikel ist, daß er – einem Vorschlag des Herausgebergremiums der GAMM-Mitteilungen nachkommend – auf mathematische Formalismen und technische Details verzichtet und so einen breiten Leserkreis anspricht.
Numerisches Rechnen ist durch zwei Grundsätze charakterisiert:
1. Jeder einzelne Rechenschritt wird als Gleitkommaoperation mit anschließender Rundung und Normalisierung ausgeführt.
2. Die Fehleranalyse berücksichtigt den Rundungsfehlereinfluß jedes einzelnen Schrittes.
Ein derartiges Konzept weist gravierende Nachteile auf. Zum einen können völlig falsche Resultate bereits nach nur wenigen Rechenschritten entstehen, auch wenn die Operationen den IEEE-Standards genügen, wie Beispiele zeigen. Zum anderen ist eine Fehleranalyse bei einem Algorithmus mit \(10^{14}\) Operationen pro Stunde kaum mehr möglich. Diese Nachteile können größtenteils beseitigt werden, wenn auch Vektor- und Matrizenoperationen als Grundoperationen realisiert werden und die Fehleranalyse vollautomatisch durch Intervallarithmetik erbracht wird.
Vektor- und Matrizenoperationen als Grundoperationen auszuführen bedeutet, das Ergebnis (und nicht nur jeden Einzelschritt) rundungsexakt zu berechnen. Dies ist technisch durch Akkumulationen in Festkommaarithmetik möglich, wie es in den Spracherweiterungen FORTRAN- XSC, PASCAL-XSC und C-XSC bereits vollzogen wird. Die in diesen Spracherweiterungen implementierte Intervallarithmetik führt dann auf eine überaus stabile Numerik mit automatischer Ergebnisverifikation. Hierzu zählen auch Aussagen über Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, die über Fixpunktsätze der Analysis (z.B. Brouwer) erhalten werden.

MSC:

65G30 Interval and finite arithmetic
65G50 Roundoff error
68Q10 Modes of computation (nondeterministic, parallel, interactive, probabilistic, etc.)
65-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to numerical analysis
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