The shape of algebra in the mirrors of mathematics. A visual, computer-aided exploration of elementary algebra and beyond. With CD-ROM. (English) Zbl 1243.00001

Katz, Gabriel; Nodelman, Vladimir

Hackensack, NJ: World Scientific (ISBN 978-981-4313-59-9/hbk). xxiv, 607 p. (2012).

Das vorliegende Buch vermittelt anschauliche Zugänge zu Themengebieten der Algebra und zu Aspekten des Zusammenspiels grundlegender Ideen der Algebra, Geometrie, Analysis und Topologie. Die gewählten Herangehensweisen sind sehr intuitiv, die Autoren bemühen sich um aktive Einbeziehung des Lesers durch selbst vorgenommene Experimente und Veranschaulichungen in der dem Buch beigefügten Software Visumatica.
In dem Kapitel 1 werden zunächst Grundlagen gelegt: Nach einer Einführung der Koordinatenebene, algebraischer Beschreibungen von Geraden und der analytischen Darstellung einfacher geometrischer Abbildungen wird der Leser in die Benutzung der Software Visumatica eingeführt. Gegenstände des Kapitels 2 sind Polynome zweiten Grades und quadratische Gleichungen; ausführlich werden der Satz von Vieta und Vieta-Abbildungen behandelt, die den Nullstellen eines quadratischen Polynoms dessen Koeffizienten zuweisen. Es ergeben sich interessante und teilweise überraschende Einsichten in Aspekte quadratischer Polynome, wobei (wie auch in den anderen Teilen des Buches) Veranschaulichungen eine hohe Bedeutung beigemessen wird.
In dem Kapitel 3 erfolgt zunächst eine sehr ausführliche Einführung der komplexen Zahlen (und im Zusammenhang damit von Polarkoordinaten), die eine wesentliche Grundlage für die folgenden Kapitel bilden. Einfache komplexe Funktionen und ihre Interpretation als geometrische Abbildungen sind Gegenstand des Kapitels 4. In diesem Zusammenhang erfolgt eine Einführung grundlegender Elemente der Gruppentheorie.
In dem Kapitel 5 wird kurz auf einige ganzrationale komplexe Funktionen und danach ausführlich auf ebene Kurven – vor allem unter topologischen Aspekten – eingegangen. In diesem Zusammenhang wird der Leser mit grundlegenden Begriffen und Sätzen der Topologie vertraut gemacht.
Die Kapitel 6 und 7 befassen sich ausführlich mit ganzrationalen komplexen Funktionen zweiten, dritten und vierten Grades, wobei wiederum geometrischen Interpretationen und Veranschaulichungen breiter Raum eingeräumt wird. Die Überlegungen werden in den Kapiteln 8 bis 9 weitergeführt (Lösungen von Gleichungen dritten und vierten Grades, einschließlich zugehöriger geometrischer Überlegungen). Gegenstand des 10. Kapitels sind dann durch Gleichungen dritten und vierten Grades beschriebene ebene Kurven.
Das Kapitel 11 befasst sich mit ganzrationalen Funktionen höheren Grades (im Komplexen) und auf (dieser) Grundlage mit dem Fundamentalsatz der Algebra, der auf sehr anschauliche Weise bewiesen wird. Gegenstand des Kapitels 12 ist eine Einführung in grundlegende Elemente der komplexen Analysis.
Eine wesentliche Stärke des Buches ist die hohe Anschaulichkeit, in der alle behandelten Inhalte und Zusammenhänge erklärt werden. Zudem regt eine Vielzahl von Übungen und Aufgaben den Leser zu einem aktiven Eindringen in die behandelten Themengebiete an. Dazu liegt dem Buch eine leistungsfähige Software (Visumatica) zur Veranschaulichung und interaktiven Exploration einer Vielzahl mathematischer Objekte und Abbildungen bei.

Reviewer: Andreas Filler (Berlin)

MSC:

00A09	Popularization of mathematics
00A66	Mathematics and visual arts
12D99	Real and complex fields
00A99	General and miscellaneous specific topics
30-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to functions of a complex variable

Keywords:

Complex Numbers; Komplexe Zahlen; Visumatica; Complex Polynomial Maps; Komplexe Funktionen; Fundamentalsatz der Algebra; Fundamental Theorem of Algebra; Ebene Kurven; Plane Curves; Topologie; Topology

Software:

Visumatica