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Sulla propagazione libera e perturbata delle onde luminose in un mezzo isotropo. (Italian) JFM 20.1102.01

Die vorliegende Arbeit schliesst sich eng an den wichtigen Aufsatz von G. Kirchhoff “Zur Theorie der Lichtstrahlen” (Berl. Ber. 1882, cf. F. d. M. XIV. 1882. 829 ff., JFM 14.0829.02) an. Die Grundlage der Kirchhoff’schen Untersuchungen bildet ein Satz, der eine Präcisirung und Verallgemeinerung des Huygens’schen Princips darstellt. Für diesen Satz giebt Herr Maggi im ersten Teile seiner Arbeit einen neuen Beweis. Die Kirchhoff’sche Ableitung, die sich auf den Green’schen Satz stützt, hält Herr Maggi deshalb nicht für ausreichend, weil bei derselben eine Hülfsfunction benutzt werde, deren Existenz nicht zweifellos sei. Der Gedankengang des neuen Beweises ist folgender: Es lässt sich leicht eine solche Lösung der Differentialgleichung \[ \frac{{\partial }^2V}{\partial t^2} =a^2{\varDelta }_2V, \] in der \({\varDelta }_2V\) das bekannte Symbol bedeutet, angeben, welche die Form eines Flächenintegrals hat. Dieses Flächenintegral wird in ein Raumintegral verwandelt und sodann untersucht, unter welchen Bedingungen das Element des letzteren überall verschwindet. Die Anwendung der so ermittelten allgemeineren Bedingungen führt unmittelbar auf das Kirchhoff’sche Resultat (F. d. M. XIV. 1882. 830, Gleichung 2, JFM 14.0829.02).
Im zweiten Teil erörtert Herr Maggi die Ausbreitung der von einem festen Centrum ausgehenden Kugelwellen in einem Medium, in welchem sich ein nicht leuchtender Körper befindet. Das hier gewonnene Resultat ist wiederum mit dem Kirchhoff’schen identisch, die Ableitung eine wesentlich andere. Herr Maggi stellt die Kugelwellen nicht mittels trigonometrischer Functionen dar, sondern behält statt dessen eine willkürliche Function \(\varPsi \) bei, der er, damit die Wellen interferiren können, die Eigenschaft \[ \varPsi (\xi +\tfrac12 \lambda ) =-\varPsi (\xi ) \] beilegt. Sodann führt er in dem über die Oberfläche des dunklen Körpers zu erstreckenden Kirchhoff’schen Integral \[ \int \Omega ds \] statt der rechtwinkligen Coordinaten elliptische Coordinaten ein, bei denen eine Flächenschar aus verlängerten confocalen Rotationsellipsoiden besteht; und zwar haben dieselben das Centrum der Kugelwellen und den Punkt, in dem die Lichtbewegung bestimmt werden soll, zu Brennpunkten. Nach Einführung der neuen Variabeln lässt sich das obige Flächenintegral in ein über die Grenzcurve der Fläche zu erstreckendes Linienintegral verwandeln, und dessen Discussion giebt das Kirchhoff’sche Resultat (F. d. M. XIV. 1882. 831, JFM 14.0829.02).
Die hier benutzte Umformung eines Flächenintegrals in ein Randintegral beruht auf einer von Stokes aufgestellten Formel, welche das in beliebigen krummlinigen Coordinaten \(q_1, q_2, q_3\) ausgedrückte, über irgend eine Raumcurve zu erstreckende Linienintegral \[ \int (U_1dq_1 +U_2dq_2 +U_3dq_3) \] [\(U_1, U_2, U_3\) sind längs des Randes monodrome, continuirliche und endliche Functionen] in ein Flächenintegral verwandelt. Der Ableitung dieser Stokes’schen Formel ist der dritte Teil der Arbeit gewidmet, während im vierten Teil auf Grund der in den beiden ersten Teilen abgeleiteten Formeln die Bildung des Schattens eines dunklen Körpers erörtert wird. Dabei wird wesentlich der Kirchhoff’sche Gedankengang reproducirt.

Citations:

JFM 14.0829.02
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