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The linear continuum in terms of point and limit. (English) JFM 45.1219.17

In dieser an den Rieszschen Vortrag in Rom anknüpfenden Abhandlung (F. d. M. 40, 98 (JFM 40.0098.*), 1909) stellt der Verf. em System von acht Postulaten (oder Axiomen) für das lineare Kontinuum in Elementen: Punkt und Grenze auf. Die ersten drei sind inhaltlich den ersten drei des Rieszschen Systems gleichwertig.
Axiome 1-8 und Definitionen I u. II. 1. Wenn die Punktmenge \(M\) die Punktmenge \(N\) enthält, so ist jeder Grenzpunkt von \(N\) auch ein Grenzpunkt von \(M.\) 2. Wenn \(M\) und \(N\) zwei Punktmengen ohne gemeinschaftliche Punkte sind, so ist jeder Grenzpunkt, on \(M\) und \(N\) entweder ein Grenzpunkt von \(M\) oder ein solcher von \(N\). 3. Kein Punkt ist ein Grenzpunkt eines einzelnen Punktes. – I. Die Punktmenge \(K\) heißt verkettet (connexed), wenn bei jeder Teilung in zwei sich gegenseitig ausschließende Mengen eine dieser Mengen einen Grenzpunkt der anderen enthält. – 4. Wenn \(P\) ein Punkt ist und \(S\) die Menge aller Punkte, so ist \(S- P\) die Summe zweier sich gegenseitig ausschließenden verketteten Mengen, von denen keiner einen Grenzpunkt der anderen enthält. – II. Wenn \(P\) ein Punkt ist und \(S\) die Menge aller Punkte, ferner \(S - P = S_P' + S_P''\), wo \(S_P'\) und \(S_P''\) zwei sich gegenseitig ausschließende Punktmengen sind, so daßkeine von ihnen einen Grenzpunkt der anderen enthält, so heißen \(S_P'\) und \(S_P''\) Strahlen. Ist \(B\) ein Punkt des Strahles \(S_P'\), so wird der Strahl \(S_P'\) bezeichnet durch \(PB.\) Der Strahl \(S_P'\) heißt Ergänzungsstrahl (complementary ray) zu dem Strahle \(S_P''.\) Aus Axiom 1. folgt, daß, wenn \(P \neq B,\) es nur einen einzigen Strahl \(PB\) gibt. – 5. Es gibt keine drei sich gegenseitig ausschließenden Strahlen. 6. Die Menge aller Punkte ist eine verkettete Menge. 7. Es gibt eine abzählbare Punktmenge, so daßjeder Punkt entweder dieser Menge angehört oder ein Grenzpunkt, von ihr ist. 8. Es gibt wenigstens zwei Punkte.
\(\S\) 1. Axiome und Definitionen. \(\S\) 2. Folgerungen aus den Axiomen 1, 2, 3, 4 und 6. \(\S\) 3. Folgerungen aus den Axiomen 1-6. \(\S\) 4. Über das Axiom 5. \(\S\) 5. Unabhängigkeitsfragen. \(\S\) 6. Über das Axiom 6. \(\S\) 7. Über Kategorik.

Citations:

JFM 40.0098.*
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