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Derivazione intrinseca nel calcolo differenziale assoluto. (Italian) JFM 46.1126.01

Im Anschluß an die Riccische Theorie der orthogonalen Kurvenkongruenzen im Raum von Riemann (Rom. Acc. L. Mem. (5) 2, 276; F. d. M. 27, 543 (JFM 27.0543.*), 1896; vgl. auch Math. Ann. 54, 125, 1901) wird der absolute Differentialkalkül von Ricci nach der orthogonalen Seite hin weitergebildet. Sind \(\lambda_h^{(k)}, \lambda_{h| k}\) \((h, k=1,2, \dots, n)\) die kontravarianten bzw. kovarianten Koordinatensysteme von \(n\) paarweise orthogonale Komponenten eines Tensors \(X_{h_1 h_2 \dots h_m}\) in bezug auf das System \([1], [2], \dots, [n]\) die Invarianten: \[ I_{r_1r_2\dots r_m}=\sum_1^n{}_{h_1h_2\dots h_m} X_{h_1h_2\dots h_m}\lambda_{r_1}^{(h_1)}\lambda_{r_2}^{(h_2)}\dots \lambda_{r_m}^{(h_m)} \] erklären. Die orthogonalen Komponenten der ersten kovarianten Ableitungen des Tensors sind dann: \[ I_{r_1r_2\dots r_mr_{m+1}}= \frac{dI_{r_1r_2\dots r_m}}{ds_{r_{m+1}}}- \sum_1^m{}_l\sum_1^n{}_q \gamma_{r_l}q_{r_{m+1}}I_{r_1r_2\dots r_{l-1}}q_{r_{l+1}\dots r_m}, \] unter \(ds_{r_{m+1}}\) das Bogenelement der Kurven der Kongruenz \([r_{m+1}]\) verstanden. Für die orthogoanlen Komponenten der zweiten konvarianten Ableitungen gilt die Vertauschungsformel: \[ I_{r_1r_2\dots r_mr_{m+2} r_{m+1}}- I_{r_1r_2\dots r_mr_{m+1} r_{m+2}} \]
\[ =\sum_1^m{}_l\;\sum_1^n{}_p \gamma_{r_{m+l}r_{m+2}r_lp} I_{r_1\dots r_{l-1}pr_{l+1}\dots r_m}, \] in der \(\gamma_{r_{m+1}r_{m+2}, r_lp}\) die orthogonalen Komponenten des Krümmungstensors bedeuten. Insbesondere hat man für \[ I_{r_1}=\lambda_{h| r_1}, \text{ also} I_{r_1r_2}=\gamma_{hr_1r_2r_3}-\gamma_{hr_1r_3r_2}. \] Schließlich werden noch die Relationen zwischen den zweiten Ableitungen der Rotationskoeffizienten aufgestellt, die aus den bekannten Identitäten von Bianchi folgen.

Citations:

JFM 27.0543.*
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