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Über die Existenz Ebenster in Riemannschen Räumen. (German) JFM 48.0848.01

Unter einer Ebensten in einem Riemannschen Raum \(R_n\) versteht man eine \(r\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit \(E_r\), die eine geodätische Linie stets dann ganz enthält, wenn sie mit ihr einen Punkt und in diesem auch die Richtung gemein hat (vgl. die Untersuchungen von F. Schur, Math. Ann. 27, 537).
Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß in jedem Punkte und in jeder Richtung des \(R_n\) eine \(E_{n-1}\) existiert, ist die Konstanz des Riemannschen Krümmungsmaßes unseres \(R_n\).
Bereits die Existenz einer \(E_2\) in jedem Punkte und in jeder Richtung zieht die Existenz aller \(E_r\) mit beliebigem \(r\) nach sich.
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References:

[1] Dieses Resultat würde unter Zuhilfenahme eines von Schur bewiesenen Satzes, nämlich daß Isotropie in jedem Punkte die konstante Krümmung zur Folge hat, zum Beweise des Satzes II genügen.
[2] Im Riemannschen Koordinatensystem mitP als Zentrum.
[3] Im Riemannschen Koordinatensystem mitO als Zentrum.
[4] Im Riemannschen Koordinatensystem mitO 1 als Zentrum.
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