Moore, L. E. Translation surfaces in hyperspace. (English) JFM 47.0694.01 American M. S. Bull. 25, 75-85 (1918). Lassen sich die rechtwinkligen Koordinaten der Punkte einer Fläche darstellen in der Form: \[ (1)\qquad x_i = f_i(u) + g_i(v) \;(i =1, 2, \dots, n), \] so heißt die Fläche eine Translationsfläche. Sie erscheint auch als Ort der Mittelpunkte der Strecken, die je zwei Punkte der Kurven \(C_1: x_i = 2g_i(u)\) und \(C_2 : x_i = 2f_i(v)\) verbinden. Der Charakter der Fläche ist dann im wesentlichen bestimmt durch die Form und die gegenseitige Lage von \(C_1\) und \(C_2.\) Für \(n = 3\) gelten die folgenden drei Hauptsätze:a) die Richtungen der durch einen Punkt gehenden Parameterkurven sind konjugiert;b) es gibt Flächen, die sich in mehreren Arten in der Form (1) darstellen lassen;c) Minimalflächen sind stets Translationsflächen; ihre Parameterkurven sind Minimalkurven.Es werden für höhere lineare Räume Translationsflächen auf die drei obigen Eigenschaften hin geprüft und die Bedingung für die Kurven \(C_1\) und \(C_2\) auf gestellt, daß(1) eine Developpable wird. Die Koordinaten einer Fläche (1) genügen der partiellen Differentialgleichung \( \frac {\partial^2 Z}{\partial u\partial v}= 0,\) deren charakteristische Gleichung \(dudv = 0\) ist; die Parameterkurven sind charakteristische. Genügen die Koordinaten keiner weiteren partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung, so läßt sich die Fläche nur auf eine Art auf die Form (1) bringen.Im Falle von zwei linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung entstehen die Regel- Translationsflächen, nämlich Zylinder.Endlich kann noch der Fall von Developpabeln auftreten, der zu einer Reihe merkwürdiger Eigenschaften dieser Flächen führt. Reviewer: Meyer, Prof. (Königsberg in Preußen) Cited in 1 Document JFM Section:Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. E. Gebilde in Räumen von mehr als drei Dimensionen. PDFBibTeX XMLCite \textit{L. E. Moore}, Bull. Am. Math. Soc. 25, 75--85 (1918; JFM 47.0694.01) Full Text: DOI