Birckenstaedt, M. Zwei neue allgemeine Differentiationsgesetze. (German) JFM 42.0308.10 Progr. Kgl. Christianeum Altona. 11 S. \(4^\circ\) (1911). Es seien \(p_1,p_2,\dots,p_\lambda\) von der Zeit \(t\) abhängige Größen und \[ R=f(t,p_1,p_1^{'},\dots,p_1^{(\alpha)},p_2,p_2^{'},\dots,p_2^{( \alpha)},\dots,p_\lambda,p_\lambda^{'},\dots,p_\lambda^{(\alpha)}), \] worin \(\alpha\) die höchste Ordnung der nach \(t\) genommenen Ableitungen der \(p\) darstellt, so hat Koenigsberger in den “Prinzipien der Mechanik”, S. 4, für den Fall, daß die Funktion \(R\) nur die Ableitungen erster Ordnung der \(p_\lambda\) enthält, das Bestehen der beiden Relationen bewiesen: \[ \frac{d^\sigma}{dt^\sigma}\frac{\partial R^{(\varrho)}}{\partial p_\lambda ^{(\sigma)}}=(\varrho_0\varrho_1\varrho_{\sigma-1})\frac{\partial R^{(\varrho)}}{\partial p_\lambda}+\varrho_{\sigma-1}\frac d{dt}\frac{\partial R^{(\varrho)}}{\partial p_\lambda^{'}}, \]\[ \frac{d^{\varrho+1}}{dt^{\varrho+1}}\frac{\partial R^{(\varrho)}}{\partial p_\lambda^{(\varrho+1)}}=\varrho_1\frac{\partial R^{(\varrho)}}{\partial p_\lambda}+\frac d{dt}\frac{\partial R^{(\varrho)}}{\partial p_\lambda^{'}}, \] worin \(R^{(\varrho)}\) die nach \(t\) genommene \(\varrho\)-te Ableitung bedeutet und \(\varrho_1,\varrho_2,\dots,\varrho_\sigma\) für \(\binom\varrho1, \binom\varrho2,\dots,\binom\varrho\sigma\) geschrieben ist. In der vorliegenden Abhandlung sucht der Verf. entsprechende Relationen für den Fall, daß \(R\) auch noch von den zweiten Ableitungen und weiter von den dritten Ableitungen der \(p_\lambda\) abhängt. Hieraus ergeben sich die beiden folgenden Differentiationsgesetze für die allgemeine Funktion \(R\), in der die Ableitungen bis zur \(\alpha\)-ten Ordnung enthalten sind: \[ \text{(1)}\quad\frac{d^\sigma}{dt^\sigma}\frac{\partial R^{(\varrho)}}{ \partial p_\lambda^{(\sigma)}}=\sum_0^\alpha{}_\mu \begin{vmatrix} \l&\l&\l&\l\\ \varrho_{\sigma-\mu} &\varrho_1&\varrho_2 \dots &\varrho_{\sigma-\mu}\\ \varrho_{\sigma-\mu-1} &\varrho_0&\varrho_1 \dots &\varrho_{\sigma-\mu-1}\\ \varrho_{\sigma-\mu-2} &0 &\varrho_0\dots &\varrho_{\sigma-\mu-2}\\ \hdotsfor4\\ \hdotsfor4\\ \varrho_{\sigma-\alpha+1} &0 &\dots&\varrho_0\varrho_1\\ \varrho_{\sigma-\alpha} &0 &\dots0&\varrho_0 \end{vmatrix} \frac{d^\mu}{dt^\mu}\frac{\partial R^{(\varrho)}}{\partial p_\lambda^{(\mu)}} \] mit der Bedingung \(\sigma\leqq\varrho\), \[ \text{(2)}\quad \frac{d^\sigma}{dt^\sigma}\frac{\partial R^{(\varrho)}} {\partial p_\lambda^{(\sigma)}}=\sum_0^{\sigma\varrho}{}_\mu[-1]^{\sigma-\varrho-\mu} \begin{vmatrix} \l &\l &\l &\l &\l\\ \varrho_1 &\varrho_2 &\varrho_3 &\dots &\varrho_{\sigma-\varrho-\mu}\\ \varrho_0 &\varrho_1 &\varrho_2 &\dots &\varrho_{\sigma-\varrho-\mu-1}\\ 0 &\varrho_0 &\varrho_1 &\dots &\varrho_{\sigma-\varrho-\mu-2}\\ \hdotsfor5\\ \hdotsfor5\\ 0 &0 &0 &\dots &0\varrho_0 \varrho_1 \varrho_2\\ 0 &0 &0 &\dots &0 0 \varrho_0 \varrho_1 \end{vmatrix} \frac{d^\mu}{dt^\mu}\frac{R^{(\varrho)}}{\partial p_\lambda^{(\mu)}}, \] und dieses Differentiationsgesetz hat Gültigkeit für \(\sigma>\varrho\, (\varrho+\alpha=\sigma)\). Es läßt sich also \(\frac{d^\sigma}{dt^\sigma} \frac{\partial R^{(\varrho)}}{\partial p_\lambda^{(\sigma)}}\) als lineare und homogene Funktion der Ableitungen \[ \frac{\partial R^{(\varrho)}}{\partial p_\lambda},\frac d{dt}\frac{\partial R^{(\varrho)}}{\partial p_\lambda^{'}},\dots,\frac{d^\alpha}{dt^\alpha}\frac {\partial R^{(\varrho)}}{\partial p_\lambda^{(\alpha)}} \] darstellen. Die Koeffizienten der Ableitungen können als Determinanten geschrieben werden, deren Grad sich nach den Ordnung der Differentiation richtet. Reviewer: Gaedecke, Dr. (Berlin) JFM Section:Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 2. Differentialrechnung (Differentiale, Funktionen von Differentialen. Maxima und Minima). PDFBibTeX XML