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Notes on a differential equation which occurs in the two dimensional motion of a compressible fluid and the associated variational problems. (English) JFM 56.1057.01

Die gelegentlich aufgeworfene Frage, ob eine Potentialströmung einer Flüssigkeit möglich sei, wenn die Geschwindigkeit einen kritischen Wert (lokale Schallgeschwindigkeit) übersteigt, führt den Verf. zu einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung für das Geschwindigkeitspotential, die nach Ausführung einer Legrendreschen Transformation die Form \[ A(u,v)\frac{\partial^2\chi}{\partial u^2}+2H(u,v)\frac{\partial^2\chi} {\partial u \partial v}+B(u,v)\frac{\partial^2\chi}{\partial v^2} = 0 \] erhält und in der \((u,v)\)-Ebene teils elliptischen, teils hyperbolischen Charakter zeigt. Nach Bemerkungen über die Verschiedenheit der Randbedingungen bei elliptischen und hyperbolischen Differentialgleichungen geht Verf. auf den Zusammenhang solcher Differentialgleichungen mit einem Variationsproblem ein und leitet anschließend die Differentialgleichungen der Wirbelbewegung aus einem Variationsproblem ab. Alsdann behandelt er die Frage nach der Existenz, Eindeutigkeit und Regularität der Lösung des Randwertproblems für Differentialgleichungen, die innerhalb des von der Randkurve umschlossenen Gebiets teils elliptischen, teils hyperbolischen Charakter besitzen. Dabei orientiert er sich an Hand geeignet ausgewählter Differentialgleichungen, für die er aus bekannten Partikularlösungen allgemeine Lösungen aufbauen kann, über verschiedene Fälle, die bei der Lösung der Randwertaufgabe eintreten können. (IV 13, 14, 15; VI 4 B.)

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