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Linearly connected spaces and ennuples of curves. (English) JFM 60.1310.03

Jedem System von \(n\) Kurvenkongruenzen in einem \(n\)-dimensionalen Riemannschen Raum ist bekanntlich ein System von Invarianten \(\gamma _{bc}^a\) \((a,b,c=1,\dots,n)\), den Riccischen Rotationskoeffizienten, zugeordnet. Die \(\gamma _{bc}^a\) hängen nur von den Kongruenzen und den Christoffelschen Dreiindicessymbolen ab und können daher auch in Räumen mit linearem Zusammenhang definiert werden. Verf. zeigt nun, wie man umgekehrt aus dem Begriff der Rotationskoeffizienten eine Theorie des linearen Zusammenhangs entwickeln kann. Er bemerkt jedoch nicht, daß seine Entwicklungen identisch sind mit der Theorie der linearen Übertragungen in anholonomen Bezugssystemen (vgl. z. B. Schouten, Struik, Einführung in die neueren Methoden der Differentialgeometrie I (1935; F. d. M. \(61_{\text I}\), 784), §  6 und die dort angeführte Literatur). Seine Bezugsvektoren \({}_a\lambda ^i\) bzw. \({}^a\lambda _i\) sind die Maßvektoren eines allgemeinen anholonomen Bezugssystems. Was er “intrinsic tensor” nennt, sind die gewöhnlichen Affinoren, bezogen auf das anholonome System der \({}_a\lambda ^i\), \({}^a\lambda _i\). Ebenso sind seine “intrinsic covariant derivative” und die \(\gamma _{bc}^a\) weiter nichts als die gewöhnliche kovariante Ableitung und die Zusammenhangsgrößen, ausgedrückt in einem anholonomen Bezugssystem usw. Übrigens ist die Gleichung (6.5) auf S. 389 falsch, richtig lautet sie: \[ P_{\beta \gamma \delta }^\alpha =B^i_{jkl}{}^\alpha \lambda _{i\beta }\lambda ^j{}_\gamma \lambda ^k {}_\delta \lambda ^l. \] Die \(P_{\beta \gamma \delta }^\alpha \) sind also die Komponenten des Krümmungstensors \(B_{jkl}^i\) (abgesehen vom Vorzeichen) in bezug auf ein anholonomes System.
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