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Über die Formulierung der Naturgesetze mit fünf homogenen Koordinaten. I: Klassische Theorie. II: Die Diracschen Gleichungen für die Materiewellen. (German) JFM 60.1426.02

I. Mit Hilfe der allgemeinen projektiven Differentialgeometrie (vgl. J. A. Schouten, D. van Dantzig, Z. f. Physik 78 (1932), 639-667; J. A. Schouten, Annales Inst. H. Poincté 5 (1935), 51-88; F. d. M. 58, \(61_{\text{I}}\), 828) wird eine Formulierung der Feldtheorie gegeben, wobei das zweite Maxwell Gleichungesystem mit den Gravitationsgleichungen zu einem einzigen System verschmolzen wird, das direkt mit der Krümmung zusammaenhängt, und die Weltlinien der geladenen Massenpunkte als verallgemeinerte geodätische Linien interpretiert werden. wie Verf. in der Einleitung erwähnt, weicht seine Theorie nur in weniger wesentlichen Punkten von den Arbeiten von Schouten und van Dantzig ab. Bezüglich der Parameter der kovarianten Differentiation \(\Pi _{\mu \lambda }^{\varkappa }\) ist Verf. aber der Ansicht, daß die Symmetrieforderung \(\Pi _{\mu \lambda }^{\varkappa } = \Pi _{\lambda \mu }^{\varkappa }\) die natürliche ist. Zusammen mit der Forderung \(\nabla _{\mu } g_{\lambda \varkappa } =0\) führt dies zu den zum Fundamentalprojektor \(g_{\lambda \varkappa }\) gehörigen Christoffel-Symbolen. In einem Anhang wird über den allgemeineren Ansatz für die \(\Pi _{\mu \lambda }^{\varkappa }\) von Schouten und van Danzig referiert.
II. Anschließend an die (mit Verwendung von nichthomogenen Koordinaten) von Schrödinger und Bargmann (Sitzungsberichte Akad. Berlin 1932, 105-128, 346-354; F. d. M. 58) angegebene Methode wird in der vorliegenden arbeit die Theorie der projektiven, von fünf homogenen Koordinaten abhängingen Spinoren entwickelt. den Ausgangspunkt bilden die Gleichungen \(\alpha _{(\lambda }\alpha _{\varkappa )}=g_{\lambda \varkappa }\), wo \(g_{\lambda \varkappa }\) der Fundamentalprojektor ist. Diese Gleichungen besitzen eine und bis auf Äquivalenz \((\alpha '_{\lambda }=\pm S^{-1}\alpha _{\lambda }S)\) nur eine Lösung. Es wird gezeigt, aß sich zu jeder Drehung des Koordinatenraums eine eindeutig bestimmte Spintransformation ergibt, derart, daß bei simultaner Durchführung dieser Transformationen die \(\alpha _{\lambda }\) fest bleiben. Die Gleichung \[ \nabla _{\mu } \alpha _{\lambda \cdot B}^{\cdot A} = 0 \] bestimmt die Parameter \(\Lambda _{\mu B}^A\) der kovarienten Differentiation von Spingrößen bis auf die Spur \(\Lambda _{\mu A}^A \cdot \Lambda _{\mu A}^A\) wird dem Gradenten des Logarithmus einer skalaren Spinordichte gleichgesetzt. Als Wellengleichung wird angestzt (vgl. die in I zitierte Arbeit von J. A. Schouten und D. van Dantzig): \[ \alpha ^{\mu } (\nabla _{\mu } \Psi + k x_{\mu } \Psi ) =0. \] Der projektive Spinor \(\Psi \) steht hierbei für \(\psi ^{F^l}\), wo \(\psi \) ein nichthomogener Spinor und \(F\) ein reeller Skalar vom Grade \(l\) ist. Um die Forderung der Reellität der Lagrangefunktion zu befriedeigen, muß der Grad \(l\) von \(F\) als rein imaginär angenommen werden. Es ergibt sich \[ l = i \frac {e}{h} \frac {1}{\sqrt {2 \varkappa }} \] (\(e\) ist die Ladung, \(\varkappa \) die Gravitationskonstante und \(2\pi h\) die Plancksche Konstante). Die Wellengleichung etnhält mit \(\sqrt {\varkappa }\) proportionale Zusatzglieder. Die Feldgleichungen werden noch aus einem Variationsprinzip abgeleitet, indem die Langrange-Funktion der Meterie und die Lagrange-Funktion des Vakuums zueinander addiert werden. Zum Unterschied von der bisherigen Behandlung desselben Problems bei Pauli-Solomon und Schouten-van-Dantzig bzw. Schouten gelingt es, einen formal einheitlichen Ausdruck für den symmetrischen Projektor \(T_{\lambda \varkappa }\) aufsustellen, der den Energieimpulstensor \(T_{ih}\) und den Stromvektor \(v^h\) zusammenfaßt, und es scheint sich hierbei die Voraussetzung der Symmetrie der \(\Pi _{\mu \lambda }^{\varkappa }\) zu bewähren. Die Abweichung der entwickelten Theorie von der Diracschen dürfte sich wegen ihrer Kleinheit kaum durch Experimente prüfen lassen. Die Arbeit dringt nicht bis zu einer Quantisierung des Wellenfeldes durch. (VII 3.)
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