On the representation of arbitrary functions. (Ueber die Darstellung willkürlicher Functionen.) (German) JFM 18.0344.02

Runge, C.

Acta Math. VII, 387-392 (1886).

In der vorliegenden Notiz löst der Verfasser in sehr einfacher Weise die Aufgabe, eine willkürlich gegebene stetige Function einer reellen Veränderlichen durch eine gleichmässig convergirende Summe von rationalen Functionen darzustellen. Setzt man \[ f_n = \frac{1}{1+ \left( \frac{x-a_1}{a_2 - a_1} \right)^{2n}}, \] so ist \(\lim_{n=\infty} f_n\) gleich 0 oder 1, je nachdem \(x\) dem Intervalle \(a_1 \dots a_2\) oder dem Intervalle \(a_2 \dots \infty\) angehört. Hieraus folgt, unter \(y_1\) und \(y_2\) willkürliche Functionen von \(x\) verstanden, dass \(y_2 + f_n(y_1 -y_2)\) für unendlich anwachsendes \(n\) die Function \(y_2\) oder \(y_1\) zur Grenze hat, je nachdem \(x\) in dem ersten oder zweiten der genannten der Intervalle liegt. Seien nun die Functionen \(y_1\) und \(y_2\) schon durch Summen rationaler dargestellt, und mit \(R_n^{(1)}(x)\) und \(R_n^{(2)}(x)\) die Summe der ersten \(n\) Glieder dieser Ausdrücke für \(y_1\) und \(y_2\) bezeichnet. Dann wird, je nach dem Intervall, welchem \(x\) angehört, die rationale Function \[ R_n(x) = R_n^{(2)} (x) + f_n[R_n^{(1)} (x) - R_n^{(2)} (x)] \] für unendlich anwachsende Werte von \(n\) die Function \(y_1\) oder \(y_2\) zur Grenze haben. Diese Grenze kann offenbar auch durch die Reihe \[ R_1(x) + [R_2(x) - R_1(x)] + [R_3(x) - R_2(x)] + \cdots \] dargestellt werden. Durch wiederholte Anwendung dieser Betrachtung kann man eine Function, welche durch Aneinandersetzung verschiedener Functionen gebildet wird, in der gewünschten Weise darstellen, wenn solche Darstellungen für die einzelnen zusammensetzenden Functionen schon bekannt sind. Insbesondere kann offenbar die Aufgabe für jede Function, deren geometrisches Bild ein gebrochener geradliniger Linienzug ist, gelöst werden. Folglich auch für jede stetige Function: denn man kann jeder Curve, welche das Bild einer stetigen Function ist, einen gebrochenen Linienzug einzeichnen, welcher sich der Curve beliebig genau anschliesst.
Der Verfasser giebt schliesslich eine bemerkenswerte Anwendung der gefundenen Darstellung willkürlicher Functionen auf die Integration der Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} =0, \] und zwar für den Fall, dass \(u\) sich für \(\eta =0\) auf eine gegebene stetige Function von \(\xi\) reduciren und für positive Werte von \(\eta\) stetig sein soll.

Reviewer: Hurwitz, Prof. (Königsberg i.Pr.)

MSC:

41A99	Approximations and expansions
31A05	Harmonic, subharmonic, superharmonic functions in two dimensions

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Approximation of continuous functions. Harmonic functions with prescribed values on part of the boundary