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On a problem of the calculus of variations. (Sur un problème du calcul des variations.) (French) JFM 37.0390.01

Hilbert behandelt in seinen “Grundzügen einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen” (Gött. Nachr. 1904, 78) das Problem:
Es sollen alle Funktionen \(u(s)\) gefunden werden, die dem Integrale \[ I(u)=\int_a^b\int_a^bK(s,t)u(s)u(t)\,ds\,dt, \] wo \(K(s,t)\) eine symmetrische Funktion der beiden Veränderlichen ist, seinen größten oder kleinsten Wert geben, unter der Voraussetzung, daß die Bedingung \(\int_a^bu(s)^2ds=1\) erfüllt ist. Hilbert löst dieses Problem mit Hülfe allgemeiner Sätze, die er über die Fredholmsche Integralgleichung aufgestellt hat. Der Verf. behandelt dasselbe Problem mit Hülfe der Variationsrechnung, indem er den Grundgedanken einer der Methoden verwendet, mit denen es Hilbert (Math. Ann. 59; F. d. M. 32, 423, 1901, JFM 32.0423.03) gelungen ist, das Dirichletsche Prinzip zu einem strengen Beweisverfahren zu gestalten. Auf diesem Wege gelangt man auch leicht zu den allgemeinen Resultaten von Hilbert über die Fredholmsche Gleichung.

MSC:

45B05 Fredholm integral equations
49K05 Optimality conditions for free problems in one independent variable

Citations:

JFM 32.0423.03
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Full Text: Gallica