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Proof of the fundamental theorem of integral calculus: \(\int_a^b F'(x) dx = F(b) F(a).\). (Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung: \(\int_a^b F'(x) dx = F(b) - F(a).\).) (German) JFM 12.0217.02

Hat die stetige Function \(F(x)\) im Intervalle \((a\), \(b)\) überall einen vorderen und einen hinteren Differentialquotienten (d. h. existiren die Gernzwerthe \[ \underset{\varepsilon = +0} {\lim} \frac{F(x+\varepsilon) - F(x)}{\varepsilon} = f_{\nu} (x), \quad \underset{\varepsilon = +0} {\lim} \frac{F(x - \varepsilon) - F(x)}{-\varepsilon} = f_h (x), \] so fallen in jedem Theilintervalle die oberen und die unteren Grenzen der beiden Functionen zusammen. Ist die eine der Functionen \(f_{\nu} (x)\), \(f_(x)\) integrabel, so ist es auch die andere, und beide liefern dasselbe Integral \(F(b) - F(a)\). Der letztere Satz ist bereits von Herrn Dini gezeigt, während der erstere als besonderer Fall eines ebenfalls von ihm herrührenden Satzes aufgefasst werden kann (vgl. d. Jahrb. X. 1878. p. 275). Herr du Bois-Reymond beweist ferner, dass zugleich mit \(f_{\nu} (x)\) oder \(f_h(x)\) auch der mittlere Differentialquotient von \(F(x)\), d. i. der Grenzwerth von \[ \{ F(x+\varepsilon) - F(x- \varepsilon_1) \}\; : \; \{ \varepsilon + \varepsilon_1 \}, \] wenn die durch ein Gesetz \(\varphi (\varepsilon, \varepsilon_1) = 0\) verbundenen positiven Zahlen \(\varepsilon\), \(\varepsilon_1\) zugleich zur Grenze 0 übergehen, integrabel sei und das nämliche Integral liefere.

MSC:

26A24 Differentiation (real functions of one variable): general theory, generalized derivatives, mean value theorems
26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type
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