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Partial differential equations and calculus of variations. (Partielle Differentialgleichungen und Variationsrechnung.) (German) Zbl 0813.35001

Fischer, Gerd (ed.) et al., Deutsche Mathematiker-Vereinigung e.V., Freiburg im Breisgau (DE), Deutsche Mathematiker-Vereinigung e.V., Freiburg im Breisgau (DE), Ein Jahrhundert Mathematik 1890-1990. Festschrift zum Jubiläum der DMV. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn. Dok. Gesch. Math. 6, 149-230 (1990).
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In diesem umfassenden Bericht wird eine Übersicht über die Entwicklung der Variationsrechnung und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen gegeben, wie sie durch die klassischen Arbeiten von Carl Neumann, Poincaré und Schwarz vorbereitet wurde. Dabei handelt es sich insbesondere um die nichtlinearen Probleme. Der Bericht ist in vier Abschnitte unterteilt.
Zunächst wird in der Einleitung (Teil I) auf verschiedene klassische Resultate eingegangen, die für die Entwicklung der allgemeinen Theorie von Bedeutung sind. Diese Einführung gibt zugleich eine vorzügliche Orientierung über die Zusammenhänge zwischen partiellen Differentialgleichungen, Variationsrechnung und Funktionentheorie.
In Teil II (§§2-8) wird dann anhand konkreter Beispiele gezeigt, wie sich die moderne Theorie der partiellen Differentialgleichungen entwickelt hat. Dabei wird insbesondere aufgezeigt, wie sich während dieser Periode (1870-1939) der Lösungsbegriff für Differentialgleichungen wandelte. Ausgehend von verschiedenen Problemen der Physik, der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie werden dann in §3 und §4 die klassischen Existenzbeweise für die Randwertaufgaben der Potentialtheorie (alternierendes Verfahren, Integralgleichungsmethode und Perronsches Verfahren) sowie das Dirichletsche Prinzip und die direkten Methoden der Variationsrechnung kurz erörtert. §5 ist den Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten und der damit in Zusammenhang stehenden Verzweigungstheorie von Liapunow-Schmidt gewidmet. §6 enthält eine kurze Darstellung der klassischen Methoden von Radó, Douglas und Courant zur Lösung des Plateauschen Problems sowie des Weylschen Einbettungsproblems und des Minkowskischen Problems. Diese Probleme waren für die Weiterentwicklung der nichtlinearen Theorie von entscheidender Bedeutung. Ausgehend von dem Bernsteinschen Analytizitätstheorem für die nichtlineare elliptische Gleichung \[ F(x,y,u,p,q,r,s,t) = 0, \quad 4F_ rF_ t - F^ 2_ s > 0 \tag{1} \] werden dann in §7 verschiedene klassische Resultate von Lichtenstein, E. Hopf und C. B. Morrey besprochen, die auf eine Abschwächung der Anfangsvoraussetzungen \(u \in C^ 3\) abzielen. Auf das Ergebnis von C. B. Morrey, das das abschließende Resultat in dieser Reihe darstellt, wird besonders eingegangen. Den Abschluß des zweiten Teils (§8) bilden das Maximumprinzip und die Schauderschen Abschätzungen für lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung sowie die Kontinuitätsmethode und der Fixpunktsatz von Leray-Schauder.
Der dritte Teil der Arbeit (§9–§13) beschäftigt sich mit dem Ausbau der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und der Variationsrechnung nach 1940. Ausgehend von der Weylschen Methode der orthogonalen Projektion werden zunächst in §9 verschiedene Resultate von L. Gårding, Lax, Nirenberg und F. E. Browder über lineare elliptische Differentialgleichungen \(2m\)-ter Ordnung kurz erörtert, die auf der Anwendung von Hilbertraummethoden beruhen. Anschließend wird in §10 die Regularität von schwachen Lösungen elliptischer Differentialgleichungen der Form \[ D_ i (a_{ij} D_ ju) + b_ iD_ iu + D_ i(d_ iu) + cu = f \tag{2} \] besprochen, wobei die Koeffizienten \(a_{ij}, b_ i, c, d_ i\) nur wenig regulär sind. Für \(a_{ij}\) wird nur Meßbarkeit und Beschränktheit vorausgesetzt. Es handelt sich dabei insbesondere um das grundlegende Resultat von De Giorgi und Nash, das die Hölderstetigkeit schwacher Lösungen von (2) in beliebigen Dimensionen für den Fall \(b_ i = d_ i = c = f = 0\) sicherstellt, sowie um das Mosersche Iterationsverfahren, das einen ganz neuen Beweis dieses Regularitätssatzes ermöglicht. Anschließend werden die Schwierigkeiten erörtert, die sich beim Übergang von der Gleichung (2) zu einem elliptischen System der Form
\[ \sum^ n_{\alpha, \beta = 1} \sum^ N_{j=1} D_ \alpha \bigl( A^{\alpha \beta}_{ij} (x) D_ \beta u^ j \bigr) = f^ i \tag{3} \] ergeben. Gegenbeispiele von De Giorgi, Giusti und Miranda für die Regularität schwacher Lösungen von (3) werden angeführt, und es wird auf Sätze von Morrey, Giusti und Miranda über partielle Regularität der Lösungen von (3) hingewiesen. Schließlich wird das Regularitätsproblem für Systeme der Form \[ D_ \beta (a^{\alpha \beta} u^ i) = f^ i (x,u,Du) \tag{4} \] mit \[ | f(x,u,p) | \leq a | p |^ 2 + b \tag{5} \] erörtert. \(u\) wird dabei als beschränkt vorausgesetzt. Solche Systeme treten bei verschiedenen differentialgeometrischen Fragestellungen auf. §11 behandelt a priori-Schranken für elliptische Gleichungen und Systeme, die für die Anwendung des Leray-Schauderschen Fixpunktsatzes unerläßlich sind. Betrachtet wird zunächst das Dirichletproblem für die allgemeine quasilineare elliptische Differentialgleichung \[ a_{ij} (x,u,Du) D_ iD_ ju = b(x,u,Du) \text{ in } \Omega, \quad u = g \text{ auf } \partial \Omega. \tag{6} \] Dabei handelt es sich hauptsächlich um die Gewinnung einer a priori-Abschätzung der Form \[ \| u\|_{C^{1,\beta} (\overline \Omega)} \leq C \tag{7} \] durch die Daten des Problems. Es werden die verschiedenen Schritte aufgezeigt, die zu einer solchen Abschätzung führen. Behandelt werden im einzelnen insbesondere das Dirichletproblem für die Gleichung vorgeschriebener mittlerer Krümmung sowie der Bernsteinsche Satz für die Minimalflächengleichung. Anschließend werden verschiedene a priori-Abschätzungen für spezielle Systeme der Form \[ \Delta u = f(x,u,Du) \tag{8} \] besprochen. \(f\) genügt dabei einer Ungleichung der Form (5), und es ist \(u : \Omega \to \mathbb{R}^ N\), \(N>1\) und \(\Omega \subset \mathbb{R}^ 2\). Es handelt sich dabei hauptsächlich um Gradientenabschätzungen und um Abschätzungen für die Funktionaldeterminante im Falle \(N=2\). Abschätzungen dieses Typs sind nützlich, um die Existenz zweidimensionaler harmonischer Diffeomorphismen zu beweisen. §12 behandelt Unterhalbstetigkeitssätze für allgemeine Integrale \(I(u) = \int_ \Omega f(x,u,Du) dx\) und Verallgemeinerungen des Plateauschen Problems auf Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung sowie auf den höherdimensionalen Fall. Das letztere Problem erfordert verschiedene Begriffe und Methoden der geometrischen Maßtheorie, die hier kurz erörtert werden. Hindernisprobleme stellen ein weiteres Gebiet von aktuellem Interesse dar. Den Abschluß des dritten Teils (§13) bilden neuere Resultate aus der Verzweigungstheorie bei hydrodynamischen Problemen sowie globale Aussagen über die Lösungsstruktur beim Plateauschen Problem.
In Teil IV wird für die Anwendung der modernen Methoden ein einzelner Problemkreis genauer beschrieben, der von aktuellem Interesse ist. Betrachtet wird das Rand-Anfangswertproblem der hydrodynamischen Grundgleichungen für die Bewegung einer homogenen inkompressiblen Flüssigkeit in einem Zylindergebiet \([0, + \infty) \times \Omega\), d.h. die Navier-Stokesschen Gleichungen. Diese lauten \[ D_ t u_ i - \nu \Delta u_ i + (u_ jD_ j) u_ i + D_ ip = f_ i\;(i=1, \dots, n), \quad \text{div} u = 0 \tag{9} \] Ausgehend von der schwachen Formulierung dieses Problems mit Hilfe der zugehörigen Integralform werden zunächst die klassischen Ergebnisse von E. Hopf und J. Leray vorgestellt. Sodann wird die auf Sobolewsky, Fujita und Kato zurückgehende funktionalanalytische Methode beschrieben. Dabei wird durch Einführung des Projektors \(P\), der jeder Vektorfunktion ihren divergenzfreien Anteil zuordnet, das Problem (9) auf eine semilineare Evolutionsgleichung im Banachraum \(H_ q (\Omega)\) transformiert, nämlich \[ u' + Au + Mu = Pf, \quad u(0) = u_ 0 \tag{10} \] mit \(A = - \nu P \Delta\) und \(M(u) = P((u \cdot \nabla)u)\). Es wird sodann dargelegt, wie diese Gleichung in Verbindung mit einem Eindeutigkeitssatz von Serrin sowie potentialtheoretischen Abschätzungen von Solonnikov zu Aussagen über partielle Regularität der Lösungen von (9) führt, die im Spezialfall \(\Omega = \mathbb{R}^ 3\) auf Leray zurückgehen. Auf die Schwierigkeiten, die sich beim Übergang von einem Innenraumgebiet \(\Omega \) zu einem Außenraumgebiet ergeben, wird besonders eingegangen.
Der Bericht schließt mit einem ausführlichen Literaturverzeichnis und ist ausgestattet mit Bildern und Lebensdaten herausragender Mathematiker, die dieses Gebiet geprägt haben.
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MSC:

35-03 History of partial differential equations
35J60 Nonlinear elliptic equations
35-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to partial differential equations
35A15 Variational methods applied to PDEs
01A60 History of mathematics in the 20th century
53A10 Minimal surfaces in differential geometry, surfaces with prescribed mean curvature
35B50 Maximum principles in context of PDEs
35Q30 Navier-Stokes equations
35B65 Smoothness and regularity of solutions to PDEs

Citations:

Zbl 0706.01002
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