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On the theory of three sheeted Riemann surfaces. (Zur Theorie der dreiblättrigen Riemann’schen Fläche.) (German) JFM 09.0286.01

Diss. Göttingen. 1876 (1876).
Im Allgemeinen ist es mit grossen Schwierigkeiten verknüpft, sich von einer mehrblättrigen Riemann’schen Fläche eine klare Vortellung zu verschaffen, wenn man nicht eine schematische Form besitzt, in welche die Flächen jeder Gattung durch continuirliche Deformation übergeführt werden können. Die Möglichkeit einer solchen Reduction auf eine schematische Form hat Herr Lüroth in seiner “Note über Verzweigungsschnitte und Querschnitte in einer Riemann’schen Fläche (Clebsch Ann. IV. 181; siehe F. d. M. III. 192, JFM 03.0192.02) dargethan, und seine Resultate sind später von Clebsch (Ann. VI. 216; siehe F. d. M. V. 285, JFM 05.0285.03) ausführlicher dargestellt und für die Theorie der Abel’schen Functionen nutzbar gemacht. Herr Kasten stellt sich im Vorliegenden die Aufgabe, die Reduction der dreiblättrigen Riemann’schen Fläche auf eine schematische Form vollständig durchzuführen. Dies gelingt mit Hülfe des Satzes: “Zerlegt man die Anzahl der Windungspunkte auf beliebige Weise in drei grade Summanden \(a, b, c\), so kann man immer \(a\) Windungspunkte willkürlich herausgreifen, in denen die Blätter 1 und 2 zusammenhängen, \(b\) Windungspunkte, welche die Blätter 1 und 3, und \(c\) Windungspunkte, die die Blätter 2 und 3 verbinden sollen, und dann immer eine Curve \(C\) angeben, welche die verlangte Anordnung so herstellt, dass die Windungspunkte, welche dieselben Blätter verbinden, zu einer Gruppe vereinigt sind”. Besonders berücksichtigt werden die Fälle, in denen auch Windungspunkte \(2^{\text{ter}}\) Ordnung auftreten, wo also alle 3 Blätter zusammenhängen. Alsdann wird die dreiblättrige Riemann’sche Fläche ganz in der Weise, wie es in der Theorie der hyperelliptischen Functionen für die dreiblättrige Fläche geschieht, durch Querschnitte in eine einfach zusammenhängende verwandelt. Nach den Principien, die Herr Schering in seinen Vorlesungen über Abel’sche Functionen vorgetragen, wird nun die einfach zusammenhängende dreiblättrige Fläche durch Abel’sche Integrale erster Gattung \((w)\) auf die \(w\)-Fläche abgebildet. Die Aufgabe, dreiwerthige algebraische Functionen, welche ihrer Lage nach gegebene Punkte zu Windungspunkten erster Ordnung haben, wirklich herzustellen, wird sehr complicirt, da die zu bestimmenden Constanten im Allgemeinen algebraischen Gleichungen von hohem Grade genügen. Diese Darstellung der dreiwerthigen algebraischen Functionen, sowie die Construction der zugehörigen Riemann’schen Fläche wird desshalb nur für Fall \(p=0\) durchgeführt. Doch wird auch für den allgemeinen Fall die Frage nach der grössten Anzahl derartiger Functionen erledigt. Das Resultat lautet: “Es giebt höchstens \[ \frac 12 (3^{n-2}-1)=\frac 12 (3^{2p+2}-1) \] wesentlich von einander verschiedene dreiblättrige nicht zerfallende Flächen, welche \(n\) (wo \(n\) grade) gegebene Punkte zu Windungspunkten erster Ordnung haben; und folglich giebt es auch höchstens \(\frac 12 (3^{2p+2}-1)\) verschiedene Systeme gleichverzweigter dreiwerthiger algebraischer Functionen, deren Windungspunkte erster Ordnung in \(n\) beliebig vorgegebene Punkte fallen.”

MSC:

30F10 Compact Riemann surfaces and uniformization
14H55 Riemann surfaces; Weierstrass points; gap sequences