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Über eine Verallgemeinerung des Theorems von Abel. (Russian) JFM 33.0476.01

Charkow Ges. (2) 7, No. 6, 268-283 (1902).
Es sei (1) \(F(z_1, u) = 0\) eine irreduzible Gleichung \(m\)-ten Grades einer algebraischen Kurve. Eine andere Kurve, deren Gleichung \[ (2)\qquad \varPhi (z, u; a_1, a_2, \dots, a_k) = 0 \] rational \(k\) Parameter \(a_1, a_2,\dots, a_k \) enthält, schneidet die erste in Punkten, deren \(z\) durch die Gleichung (3) \(\varOmega (z; a_1,a_2, \dots, a_k)= 0 \) gegeben sind. Es werde diese Gleichung nach Adjunktion der Wurzel \(\xi\) der irreduzibeln Gleichung (4) \(\theta (\xi; a_1,a_2, \dots, a_k)=0\) auf das Rationalitätsgebiet \((a_1 a_2 \dots a_k) \) reduzibel, und es sei (5) \(\varPsi (z, \xi_1, a_1 ,\dots, a_k)=0 \) einer ihrer irreduziblen Faktoren im neuen Gebiete. Dann wird die Summe der Abelschen Integrale, welche analog der von Abel betrachteten ist, aber nur den Wurzeln von (5) entspricht, auf die Summe der \(k\) Abelschen Integrale zurückgeführt, welche von der durch (4) definierten Irrationalität abhängen. Im besonderen Falle, wenn als (2) die Gleichung \[ \varphi (z, u) + \lambda \psi(z, u) + \mu \chi (z, u) = 0 \] genommen wird, wo \(\lambda\) und \(\mu\) durch die Gleichung \(\theta (\lambda, \mu) = 0 \) verbunden sind, reduziert sich diese Summe auf ein einziges Abelsches Integral.

MSC:

14K20 Analytic theory of abelian varieties; abelian integrals and differentials