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The Lucas property for linear recurrences of second order. (English) Zbl 1439.11010

Zusammenfassung: Die Lucas-Eigenschaft modulo einer Primzahl \(p\) stellt eine Verbindung her zwischen allen Funktionswerten \(f(n)\) einer Funktion \(f:\mathbb N\to \mathbb N\) und dem Produkt \(f(n_0)f(n_1)\cdots f(n_r)\), wobei die \(n_0,\ldots, n_r\) die Ziffern der \(p\)-adischen Entwicklung von \(n\) sind, nämlich \[ f(n)\equiv f(n_0)f(n_1)\cdots f(n_r) \pmod p \quad (n\ge 1). \] Diese Eigenschaft kommt jeder Exponentialfunktion \(f(n)=c^n\) mit\(c\in \mathbb N\) und jeder Primzahl \(p\) zu. Erstmalig wurde eine solche Beziehung 1878 von E. Lucas für Binomialkoeffizienten aufgestellt. In der vorliegenden Arbeit werden Funktionen \(g\) betrachtet, die einer linearen Rekursion zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten genügen. Sollte eine solche Funktion \(g\) die Lucas-Eigenschaft modulo \(p\) noch nicht haben, so folgen die Autoren einer in der Zahlentheorie gängigen Vorgehensweise, indem sie die auf arithmetischen Progressionen beruhenden Teilfolgen \(f(n):=g(an+b)\) betrachten und charakterisieren, wann \(f\) wieder die Lucas-Eigenschaft modulo \(p\) hat. Dies haben in einer kürzlich erschienenen Arbeit bereits H. Zhong and T. Cai [Int. J. Number Theory 13, No. 6, 1617–1625 (2017; Zbl 1428.11036)] für die Fibonacci-Funktion \(F(n)\) getan. So hat etwa \(f(n)=F(4n+7)\) die Lucas-Eigenschaft modulo 3.
In dieser Arbeit wird gleichzeitig das Konzept der Lucas-Eigenschaft von den Primzahlen auf die Carmichael-Zahlen erweitert, die ja bekanntlich eine bedeutende Rolle in der Kryptographie spielen.

MSC:

11A07 Congruences; primitive roots; residue systems
11A25 Arithmetic functions; related numbers; inversion formulas
11B37 Recurrences

Keywords:

Lucas property

Citations:

Zbl 1428.11036

Software:

ARIBAS
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Full Text: DOI

References:

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[7] H. Zhong and T. Cai, On the Lucas property of linear recurrent sequences, J. Number Theory 13, no. 6 (2017), 1617-1625. · Zbl 1428.11036
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