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A special case of Dirichlet’s problem for two dimensions. (English) JFM 28.0364.01

Es handelt sich hier um die Lösung des Dirichlet’schen Problems für ein Gebiet, welches von \(p+1\) sich gegenseitig ausschliessenden Kreisen begrenzt wird. Dieser specielle Fall ist von Riemann in einer nachgelassenen Arbeit über das Gleichgewicht der Elektricität auf Kreiscylindern mit Hülfe der Theorie der conformen Abbildung behandelt worden. Derselbe Fall wurde von Schottky in seiner bekannten Abhandlung über conforme Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Flächen als Beispiel betrachtet (F. d. M. 9, 584, 1877, JFM 09.0584.02). In der vorliegenden Arbeit wird das zu bestimmende Potential durch explicite Formeln dargestellt, welche sich mit Hülfe gewisser Klein’scher Functionen ergeben. Wesentlich ist dabei der Umstand, dass sich diese letzteren, wie Schottky in einer anderen Arbeit gezeigt hat (vgl. F. d. M. 19, 424, 1887, JFM 19.0424.02), durch unendliche Producte von einfachem Bildungsgesetz ausdrücken lassen.

MSC:

31A10 Integral representations, integral operators, integral equations methods in two dimensions
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References:

[1] Gleichgewicht der Electricität auf Cylindern mit kreisförmigem Querschnitt und parallelen Axen. Ges. W., 2nd Ed., p. 440.
[2] Über conforme Abbildungen mehrfach zusammenhangender ebener Flächen. Journal f. r. u. a. Math., t. 83, p. 300.
[3] Mémoire sur les groupes Kleinéens. Acta Mathematica, t. 3, p. 49.
[4] Über eine specielle Function, welche bei einer bestimmten linearen Transformation ihres Argumentes unverändert bleibt. Journal f. r. u. a. Math., t. 101, p. 227. · JFM 19.0424.02
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