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The equilateral tetrahedron. (Das gleichseitige Tetraeder.) (German) JFM 16.0500.04

Als die dem gleichseitigen Dreieck analoge räumliche Figur wird das von vier congruenten Dreiecken eingeschlossene Tetraeder betrachtet, welches der Verfasser als gleichseitiges Tetraeder bezeichnet. Von diesem wird im ersten Abschnitt eine grosse Anzahl von Theoremen entwickelt, von denen einige bereits von Genty, Chéfik-Bey und Lemoine (vergl. die Referate F. d. M. XII. l880. 434, 435, (JFM 12.0434.03, JFM 12.0435.01)) bekannt gemacht worden sind. Bei der Entwickelung dieser Sätze erweist sich als besonders nützlich das Theorem, dass das gleichseitige Tetraeder auf vierfache Weise mit sich selbst zur Deckung gebracht werden kann, nämlich durch Drehungen um seine Kantenmittellinien. Hervorgehoben seien folgende Sätze: “Im gleichseitigen Tetraeder sind die vier Höhen einander gleich und gegen die Ebenen und Kanten bezüglich gleich geneigt; dasselbe gilt von den (nach den Schwerpunkten der Dreiecke gehenden) Eckenmittellinien, von den Höhenstrahlen der Ecken, überhaupt von irgend vier homologen Linien.”
“In einem gleichseitigen Tetraeder fallen sämtliche eindeutig definirten ausgezeichneten Punkte (also z. B. die Centren der umbeschriebenen und einbeschriebenen Kugeln, der Schwerpunkt des Tetraeders, der Monge’sche Punkt, in welchem sich die durch die Mitten der Tetraederkanten senkrecht zu den gegenüberliegenden Kanter gelegten Ebenen schneiden) mit dem Schnittpunkt seiner Kantenmittellininien zusammen.”
“Fallen irgend zwei der folgenden ausgezeichneten Punkte eines Tetraeders: Schwerpunkt, Centrum der umbeschriebenen Kugel, Centrum der einbeschriebenen Kugel, Monge’scher Punkt, zusammen, so ist das Tetraeder gleichseitig.”
Im zweiten Teile werden zahlreiche goniometrische Bezie hungen zwischen den Bestimmungsstücken (den Kantenwinkeln \(\alpha, \beta, \gamma\) und den Flächenwinkeln \(A, B, \varGamma\)) der speciellen Art von Ecken entwickelt, welche das gleichseitige Tetraeder besitzt, Ecken, bei denen die Summe der Kantenwinkel zwei Rechte beträgt. Ferner werden der Sinus der Ecke, der sphärische Excess ihres Kugelschnitts, die halbe Winkelöffnung des der Ecke umbeschriebenen und einbeschriebenen Rotationskegels \((\delta, E, P, \varrho)\) berechnet und die Relation abgeleitet, welche zwischen \(E,P,\varrho\) (oder \(\delta\)) für die Ecken des gleichseitigen Tetraeders besteht. Da diese Ecken also durch zwei jener drei Grössen bestimmt sind, so müssen, umgekehrt wie vorhin, die \(\alpha, \beta, \gamma, A, B, \varGamma\) sich aus \(E,P,\varrho\) berechnen lassen, und zwar ergeben sich trigonometrische Functionen dieser Grössen als Wurzeln von Gleichungen dritten Grades, deren Coefficienten eindeutige Functionen von \(E, P, \varrho\) sind. Schliesslich giebt der Verfasser das Resultat seiner Untersuchungen über die Frage, innerhalb welcher Grenzen die Grössen \(E,P,\varrho\) (oder \(\delta\)) gelegen sein müssen, um einem reellen Tetraeder anzugehören.
Der dritte Abschnitt enthält die Relationen zwischen den im Vorhergehenden in Betracht gezogenen Grössen und den Kanten \(a,b,c\) des gleichseitigen Tetraeders, den Kantenmittellinien \(l,m,n\), den Radien \(r\) und \(R\) der einbeschriebenen und umbeschriebenen Kugel und den Radien \(r_0\) und \(R_0\) des dem Begrenzungsdreieck einbeschriebenen und umbeschriehenen Kreises.

MSC:

51F20 Congruence and orthogonality in metric geometry
51M20 Polyhedra and polytopes; regular figures, division of spaces
51N20 Euclidean analytic geometry
52B10 Three-dimensional polytopes
53D50 Geometric quantization
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